Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 95 стр.

                               Теорема Ролля
      Если функция y = f ( x) непрерывна на отрезке [ a; b ] , дифференциру-
ема во всех его внутренних точках и значения функции на концах отрезка
равны f (a ) = f (b) , то на интервале (a; b) найдётся хотя бы одна точка
x = ξ в которой f ′(ξ) =0 .
      Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при вы-
полнении условий теоремы на интервале (a; b) существует точка ξ такая,
что в соответствующей точке кривой y = f ( x) касательная параллельна
оси Ox . Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема
утверждает существование по крайней мере одной такой точки (рис. 36).
                              у




                             aО          ξ    b      х

                                    Рис. 36

                            Теорема Лагранжа
      Если функция y = f ( x) непрерывна на отрезке [ a; b ] , дифференциру-
ема во всех его внутренних точках, то на интервале (a; b) найдётся по
крайней мере одна точка x = ξ такая, что имеет место формула
                             f (b) − f (a )
                                         = f ′(ξ) .
                                 b−a
      По теореме Лагранжа имеем
                         f (b) − f (a ) = f ′(ξ)(b − a ) .
      Эта формула называется формулой Лагранжа. Она выражает тот
факт, что приращение функции на отрезке равно произведению производ-
ной в некоторой промежуточной точке интервала на приращение аргумен-
та на этом отрезке.




                                    94