Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 94 стр.

                  Дифференциалы высших порядков
     Дифференциалом второго порядка функции y = f ( x) называется
дифференциал от дифференциала первого порядка:
                                   (dy ) ( y′dx=
                            d 2 y d=
                            =                  )′dx y′′dx 2 .                        (7.7)
      Аналогично определяется дифференциал третьего и n -го порядка:

                       d 3 y d=
                       =      d2y     ( ) ( y′′dx=    ) dx y′′′dx3 …
                                                    2 ′


                =dny             ( d n−1y ) ( y(n−1)dx=
                                d=                         ) dx y(n)dxn .
                                                       n −1 ′


      П р и м е р 8 . Найти d 2 y (0; 0) , если y = e− x .
                                                                  2



                                                              2 ′′
         Р е ш е н и е . По формуле (7.7) d 2 y =  e− x  dx 2 . Находим:
                                                               
             2 ′
y′ =  e− x  = −2 xe− x ,
                           2

             
        −2 xe− x 2 ′ =
y′′ =  
       
                    
                    
                        −2e − x2
                                 − 2 x  −2 xe− x 2  =
                                       
                                       
                                                    
                                                    
                                                      2e − x2
                                                              (           )
                                                               2 x 2 − 1 . Следовательно,

     d 2 y 2e − x           ( 2 x2 − 1) dx2
                        2
    =                                         и                    2e0 ( −1) dx 2 =
                                                      d 2 y (0; 0) =              −2dx 2 .


              Основные теоремы о дифференцируемых функциях
                              Теорема Ферма
      Если функция y = f ( x) , определённая на интервале (a; b) , достига-
ет в некоторой внутренней точке ξ этого интервала наибольшего (или
наименьшего) значений и существует производная f ′(ξ) , то она равна ну-
лю: f ′(ξ) =0 .
      Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что касатель-
ная к графику функции y = f ( x) в точке ξ параллельна оси абсцисс (рис.
35).
                                 у




                                        О         ξ                   х

                                               93 35
                                              Рис.