Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

95
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл: на графике
функции
()y fx=
всегда найдётся точка
C
, в которой касательная парал-
лельна хорде
AB
(рис. 37).
Теорема Коши
Если функции
()fx
и
()gx
непрерывны на отрезке
[ ]
;ab
, диффе-
ренцируемы во всех его внутренних точках, причём
() 0gx
′
≠
в этих точ-
ках, то на интервале
существует хотя бы одно значение
x = ξ
, для
которого
() () ()
() () ()
fb fa f
gb ga g
′
−ξ
=
′
−ξ
.
Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно от-
ношению производных в точке
ξ
.
Правило Лопиталя
Пусть функции
()fx
и
()gx
непрерывны и дифференцируемы в
окрестности точки
0
x
, обращаются в нуль в этой точке:
00
() ()0f x gx= =
и
() 0gx
′
≠
в окрестности точки
0
x
.
Тогда, если существует предел отношения производных этих функ-
ций при
0
xx→
, то существует предел отношения функций и эти преде-
лы равны. Другими словами, если
0
()
lim
()
xx
fx
l
gx
→
′
=
′
, то
00
() ()
lim lim
() ()
xx xx
fx f x
l
gx g x
→→
′
= =
′
.
Если
00
() ()0f x gx
′′
= =
, то применяя правило Лопиталя к отноше-
нию
0
0
()
()
fx
gx
′
′
, приходим к формуле
00
() ()
lim lim
() ()
xx xx
fx f x
gx g x
→→
′ ′′
=
′ ′′
и т.д.
x
y
a
ξ
b
A
B
O
Рис. 37
C
     Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл: на графике
функции y = f ( x) всегда найдётся точка C , в которой касательная парал-
лельна хорде AB (рис. 37).
                          y


                                                  B
                                   C

                               A

                           O    a ξ               b     x
                              Теорема
                                 Рис. 37Коши
      Если функции f ( x) и g ( x) непрерывны на отрезке [ a; b ] , диффе-
ренцируемы во всех его внутренних точках, причём g ′( x) ≠ 0 в этих точ-
ках, то на интервале (a; b) существует хотя бы одно значение x = ξ , для
которого
                            f (b) − f (a ) f ′(ξ)
                                          =       .
                            g (b) − g (a ) g ′(ξ)
      Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно от-
ношению производных в точке ξ .

                               Правило Лопиталя
        Пусть функции f ( x) и g ( x) непрерывны и дифференцируемы в
окрестности точки x0 , обращаются в нуль в этой точке: f= ( x0 ) g=
                                                                  ( x0 ) 0
и g ′( x) ≠ 0 в окрестности точки x0 .
     Тогда, если существует предел отношения производных этих функ-
ций при x → x0 , то существует предел отношения функций и эти преде-
                                         f ′( x)
лы равны. Другими словами, если lim              = l , то
                                  x → x0 g ′( x)
                                    f ( x)        f ′( x)
                             =lim           =
                                            lim           l.
                             x → x0 g ( x) x → x0 g ′( x)
    Если f=     ′( x0 ) g=
                         ′( x0 ) 0 , то применяя правило Лопиталя к отноше-
    f ′( x0 )                                   f ′( x)        f ′′( x)
нию           , приходим к формуле lim                  = lim           и т.д.
    g ′( x0 )                            x → x0 g ′( x) x → x0 g ′′( x)




                                       95

Страницы