Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

96
Правило Лопиталя применимо и в том случае, когда
lim ( ) 0
x
fx
→∞
=
и
lim ( ) 0
x
gx
→∞
=
, то есть
() ()
lim lim
() ()
xx
fx f x
gx g x
→∞ →∞
′
=
′
.
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей
вида
0
0
и
∞
∞
, которые называются основными. Неопределённости вида
0
0 , ,1 , ,
∞
⋅∞ ∞−∞ ∞
0
0
сводятся к двум основным видам путём тожде-
ственных преобразований.
Формула Тейлора
Рассмотрим функцию
. Формула Тейлора позволяет, при
определённых условиях , приближённо представить функцию
()fx
в виде
многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Если функция
()fx
определена в некоторой окрестности точки
0
x
и
имеет в ней производные до
( 1)n +
-го порядка включительно, то для лю-
бого
x
из этой окрестности найдётся точка
0
( ;)xxξ∈
такая, что справед-
лива формула
( )
()
2
00 0
00 0 0
( 1)
1
0 00
() () ()
()() () ()... ()
1! 2! !
()
(), (),01.
( 1)!
n
n
n
n
fx fx f x
fx fx xx xx xx
n
f
xx x xx
n
+
+
′ ′′
= + − + − ++ − +
ξ
+ − ξ= +θ − <θ<
+
(7.8)
Эта формула называется формулой Тейлора для функции
()fx
и её
можно записать в виде
() () ()
nn
fx P x R x= +
, где
()
2
00 0
00 0 0
() () ()
()() () ()... ()
1! 2! !
n
n
n
fx fx f x
Px fx xx xx xx
n
′ ′′
= + − + − ++ −
(7.9)
называется многочленом Тейлора, а
( 1)
1
0
()
() ( )
( 1)!
n
n
n
f
Rx xx
n
+
+
ξ
= −
+
называется
остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа.
()
n
Rx
есть погрешность приближённого равенства
() ()
n
fx P x≈
. Таким обра-
зом, формула Тейлора даёт возможность заменить функцию
()y fx=
много-
членом
()
n
y Px=
с соответствующей степенью точности, равной значению
остаточного члена
()
n
Rx
. 
        Правило Лопиталя применимо и в том случае, когда lim f ( x) = 0 и
                                                                                  x →∞
                        f ( x)       f ′( x)
 lim g ( x) = 0 , то есть lim  = lim          .
x →∞               x →∞ g ( x ) x →∞ g ′( x )
     Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей
     0 ∞
вида и , которые называются основными. Неопределённости вида
     0 ∞
0 ⋅ ∞, ∞ − ∞, 1∞ , ∞0 , 00 сводятся к двум основным видам путём тожде-
ственных преобразований.

                             Формула Тейлора
      Рассмотрим функцию y = f ( x) . Формула Тейлора позволяет, при
определённых условиях , приближённо представить функцию f ( x) в виде
многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
      Если функция f ( x) определена в некоторой окрестности точки x0 и
имеет в ней производные до (n + 1) -го порядка включительно, то для лю-
бого x из этой окрестности найдётся точка ξ ∈ ( x0 ; x) такая, что справед-
лива формула
                  f ′( x0 )              f ′′( x0 )           2        f ( n) ( x0 )
 f (=
    x) f ( x0 ) +           ( x − x0 ) +            ( x − x0 ) + ... +               ( x − x0 ) n +
                     1!                      2!                             n!
                                                                                                      (7.8)
  f ( n +1) (ξ)
+               ( x − x0 )n +1,   ( ξ=   x0 + θ( x − x0 ), 0 < θ < 1) .
   (n + 1)!
    Эта формула называется формулой Тейлора для функции f ( x) и её
можно     записать     в     виде      f ( x) Pn ( x) + Rn ( x) ,
                                       =                          где
                  f ′( x0 )              f ′′( x0 )           2           f ( n) ( x0 )
Pn (=
    x) f ( x0 ) +           ( x − x0 ) +            ( x − x0 ) + ... +                  ( x − x0 )n (7.9)
                     1!                      2!                                n!
                                                              f ( n +1) (ξ)
называется многочленом Тейлора,          =    а Rn ( x)                     ( x − x0 )n +1 называется
                                                               (n + 1)!
остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа.
Rn ( x) есть погрешность приближённого равенства f ( x) ≈ Pn ( x) . Таким обра-
зом, формула Тейлора даёт возможность заменить функцию y = f ( x) много-
членом y = Pn ( x) с соответствующей степенью точности, равной значению
остаточного члена Rn ( x) .



                                                   96

Страницы