Составители:
Рубрика:
67
Докажем свойства 1
0
– 4
0
.
1. cov ( , )= M [( – a) ( – a)]= D .
2. cov (
1
,
2
) = M [(
1 2
– a
1 2
– a
2 1
+ a
1
a
2
] =M [
1
·
2
] –
a
1
M [
2
] – a
2
M [
1
] + a
1
·
a
2
= M [
1
·
2
] – a
1
·
a
2
– a
2
·
a
1
+ a
1
·
a
2
= M [
1
·
2
] – a
1
· a
2
.
3. Из независимости
1
,
2
следует независимость
случайных величин
1
–a
1
,
2
–a
2
. Так как математическое
ожидание произведения независимых случайных величин
равно произведению их математических ожиданий, то имеем
cov (
1
,
2
) = M (
1
– a
1
) M (
2
– a
2
)=(M[
1
]– a
1
) (M[
2
]– a
2
)=
=(a
1
– a
1
)( a
2
– a
2
)=0.
4. Доказательство этого свойства проведем для
непрерывного случая. Представим указанную в начале
параграфа интегральную формулу для ковариации в виде
,),(),(),cov(
2121
dxdyyxyx
где обозначено
),()(),(,),()(),(
2211
yxfaxyxyxfaxyx
(для удобства записи пределы интегрирования
опущены). Воспользуемся известным фактом
математического анализа – неравенством Буняковского:
для любых непрерывных φ
1
, φ
2
и любой области D
.
2
2
2
121
dxdydxdydxdy
DDD
Отсюда следует:
.),()(),()(),cov(
2
2
2
121
dxdyyxfaydxdyyxfax
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
