Методы оптимизации и расчеты на ЭВМ технико-экономических задач. Ромашова О.Ю. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

91
Пример 3.2. Записать функцию
1098745
322)(
321
2
332
2
23121
2
1
+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅⋅−
−+⋅⋅+⋅⋅−⋅=
xxxxxx
xxxxxxXF
в матричном виде.
Решение
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅−
−⋅−
−
⋅
=
2453
5212
3222
A ;
(
)
987
−
=
B ; 10=
C
;
тогда
()
10987,
853
522
324
2
1
)(
3
2
1
3
2
1
3
2
1
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅−+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
⋅=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
XF
.
Выпуклые функции
Функция )(XF , заданная на выпуклом множестве
n
E
D
⊂ , назы-
вается выпуклой, если для любых точек DXX ∈
21
, и любого скаляра
]1,0[∈μ выполняется неравенство
)()1()())1((
2121
XFXFXXF ⋅μ−+⋅μ≤⋅μ−+⋅μ . (3.18)
Для выпуклой функции любой ее локальный минимум является
одновременно и глобальным.
Достаточным условием строгой выпуклости функции )(XF яв-
ляется положительная
определенность её матрицы Гессе )( X
H
, а силь-
ной
выпуклости – положительная определенность матрицы
E
L
X
H
⋅−)(, где
E
– единичная матрица, а 0>
L
.
Собственные значения и собственные векторы
Ненулевой вектор
, для которого
A
⋅
λ
=
⋅
, называется соб-
ственным вектором квадратной матрицы
A
, а число λ – соответст-
вующим ему собственным значением
этой матрицы.
Собственные значения находятся из характеристического уравнения
0)det(
=
⋅
λ
−
E
A
,
где
E
– единичная матрица (на главной диагонали – единицы, все ос-
тальные значения равны нулю).
Если
i
λ – собственное значение матрицы
A
, то нетривиальное
(ненулевое) решение однородной системы линейных уравнений
0)(
=
⋅
⋅
λ
−
UEA
i
дает соответствующий ему собственный вектор.

Страницы