Методы оптимизации и расчеты на ЭВМ технико-экономических задач. Ромашова О.Ю. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

92
Пример 3.6. Найти собственные значения и собственные векторы
матрицы
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
41
12
A .
Решение
Матрица (2×2) имеет два собственных значения
1
λ
и
2
λ .
;
43
12
10
01
43
12
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
λ−
λ
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅λ−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⋅λ−= EAA
5631)4()2(1det
2
+λ⋅−λ=⋅−λ−⋅λ−=A
.
Решаем уравнение 056
2
=
+
λ
⋅
−
λ :
16514364
2
=
⋅
⋅−=−= acbD;
12
166
2
2,1
⋅
±
=
⋅
±−
=λ
a
Db
.
Собственные значения:
5
1
=
λ
; 1
2
=
λ
.
Собственные векторы:
а) первый собственный вектор );(
211
xxU определяем из решения
системы уравнений
0)(
11
=
⋅
⋅λ− UEA
.
Обозначим EAA
⋅
λ−=
1
1, тогда
;
13
13
10
01
5
43
12
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=A
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅−⋅
⋅+⋅−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=⋅
21
21
2
1
1
13
13
13
13
1
xx
xx
x
x
UA .
Находим координаты первого собственного вектора, решая сис-
тему уравнений
⎩
⎨
⎧
=−⋅
=+⋅−
,03
;03
21
21
xx
xx
откуда
1
x – любое число, а
12
3 xx
⋅
=
,
например,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
6
2
1
U или
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
5,1
5,0
1
U и т. д.
б) второй собственный вектор ),(
212
xxU определяем из решения
системы уравнений
0)(
22
=
⋅
⋅λ− UEA .
Обозначим EAA
⋅
λ−=
2
2, тогда
;
33
11
10
01
1
43
12
2
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⋅λ−=
EAA
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅+⋅
⋅+⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⋅
21
21
2
1
2
33
11
33
11
2
xx
xx
x
x
UA.

Страницы