Методы вычисления неопределенных интегралов. Ростова Е.П. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

В методе интегрирования по частям подынтегральное выражение разби-
вается на два сомножителя: u и dv. Основываясь на этом разбиении, находятся
функция v и дифференциал du. Далее, используется формула интегрирования
по частям:
∫∫
−= vduuvvdu
Функции u(x) и v(x) должны быть дифференцируемыми.
Эта формула используется, если подынтегральное выражение можно
представить в виде произведения сомножителей u и dv и получившийся инте-
грал
вычислить проще, чем исходный . При этом за u берется та
функция, которая при дифференцировании упростится, а за dv – та часть по-
дынтегрального выражения, интеграл от которой известен.
∫
vdu
∫
udv
Например, для интегралов вида
, ,
за u удобнее брать многочлен P(x), а за dv оставшуюся часть подынтегрального
выражения: e
∫
⋅ dxexP
ax
)(
∫
⋅ axdxxP sin)(
∫
⋅ axdxxP cos)(
ax
dx, sin(ax)dx и cos(ax)dx соответственно. Для интегралов вида
, , за u принимают соответственно ln x,
arcsin x и arccos х, а за dv – P(x)dx.
∫
xdxxP ln)(
∫
⋅ xdxxP arcsin)(
∫
⋅ xdxxP arccos)(
Примеры
1) Вычислить
.
∫
⋅ xdxx sin
Решение.
Здесь за u удобнее взять x, а за dv оставшуюся часть подынтегрального
выражения: sinx dx.
Тогда du=dx, а v=
= – cosx.
∫
xdxsin
Cxxxdxxxx
xvdvxdx
dxduux
xdxx ++⋅−=−−−⋅=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−==
==
=⋅
∫∫
sincos)cos()cos(
cos,sin
,
sin
.
13

Страницы