Методы вычисления неопределенных интегралов. Ростова Е.П. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

взять e
x
, а dv=sinx dx, то du=e
x
dx, v= = - cos x. Если же за u принять
sin x, а за dv=e
∫
xdxsin
x
dx, тогда du=cos x dx, v= =e
∫
dxe
x
x
. В любом из рассмотренных
случаев интеграл, полученный в результате применения формулы интегрирова-
ния по частям, не проще исходного, а за dv можно брать любую часть подынте-
грального выражения, потому что интеграл
=v будет найден и для e
∫
dv
x
и для
sin x. Значит можно выбрать любой из способов разбиения данного интеграла
на u и dv.
∫
∫
∫∫
⋅−⋅+⋅−=⋅−⋅+⋅−=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
==
=⋅−−−⋅=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−==
==
=⋅
dxexxexedxexxexe
xvdvxdx
dxeduue
dxexxe
xvdvxdx
dxeduue
xdxe
xxxxxx
xx
xx
xx
x
sinsincos)sinsin(cos
sin,cos
,
)cos()cos(
cos,sin
,
sin
Итак, в ходе решения был получен исходный интеграл, который мы вы-
числяем
Если перенести его в правую часть, то справа получится
2
, а слева некоторая функция.
∫
xdxe
x
sin
∫
xdxe
x
sin
xexexdxe
xxx
cossinsin2 ⋅−⋅=⋅
∫
.
Поделим левую и правую части на 2, прибавим постоянную интегрирова-
ния С и получим ответ:
Cxxexdxe
xx
+−=⋅
∫
)cos(sin
2
1
sin
.
Интегралы подобного вида называются циклическими, потому что в ходе
решения приходят к тому, от чего уходили, т.е. прошли по кругу, сделали цикл.
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить.
1)
; 2) ; 3) ; 4) ;
∫
⋅ xdxx cos
∫
+ dxex
x
)1(
∫
xdxx ln
∫
arctgxdxx
2
5)
; 6) ; 7) ; 8) .
∫
⋅ xdxx sin
2
∫
++ xdxxx cos)32(
2
∫
dxex
x
2
5
∫
xdxe
x
cos
2
Ответы.
15

Страницы