Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

17
èëè:
constBdiv =
r
.
Ïóñòü const = 0, ò. ê. êîãäà-òî ìàãíèòíîãî ïîëÿ íå áûëî. Òîãäà
0=Bdiv
r
.
Ýòî ðàâåíñòâî óòâåðæäàåò, ÷òî âíóòðè îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé
òî÷êè íå ïðîèñõîäèò ðàçðûâà ëèíèé âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè, îíè
íå íà÷èíàþòñÿ è íå çàêàí÷èâàþòñÿ â ýòîé îêðåñòíîñòè (ïîäîáíî ëèíèÿì
âåêòîðà
D
r
, êîòîðûå íà÷èíàþòñÿ íà îäíèõ çàðÿäàõ, à çàêàí÷èâàþòñÿ íà
äðóãèõ). Äðóãèìè ñëîâàìè, ó ëèíèé âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè íåò
íè íà÷àëà, íè êîíöà. Ñëåäîâàòåëüíî, îíè çàìêíóòû. Èìåííî ïîýòîìó
ðàíåå ãîâîðèëè î âèõðÿõ âåêòîðà
H
r
â I óðàâíåíèè Ìàêñâåëëà.
Ïîëó÷èì èíòåãðàëüíóþ ôîðìó çàïèñè ïðåäûäóùåãî óðàâíåíèÿ.
Äëÿ ýòîãî ïîìíîæèì äèôôåðåíöèàëüíóþ ôîðìó íà ýëåìåíò îáú¸ìà dV
è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåìó îáú¸ìó:
∫
=
0dVBdiv
r
Ïðèìåíèì òåîðåìó Ãàóññà:
∫
=
0dSB
n
èëè
0
=
∫
S
dB
r
r
.
Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà III óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà èìååò òîò æå ñìûñë,
÷òî è äèôôåðåíöèàëüíàÿ, íî îòíîñèòñÿ ê êîíå÷íîìó îáú¸ìó: ñêîëüêî
ëèíèé âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè çàõîäèò â îáú¸ì, ñòîëüêî æå è
âûõîäèò. Ëèíèè âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè íèãäå íå íà÷èíàþòñÿ è
íèãäå íå çàêàí÷èâàþòñÿ. Îíè çàìêíóòû.
§7. IV óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà
(ïîâòîðíûé âûâîä)
Âîñïîëüçóåìñÿ I óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà:
t
D
jHrot
∂
∂
+=
r
r
r
.
Âîçüì¸ì îïåðàöèþ äèâåðãåíöèè:
Ddiv
t
jdivHdivrot
r
r
r
∂
∂
+=
.
Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî âûðàæåíèÿ ðàâíà íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî,
     èëè:
                                   r
                               divB = const .
     Ïóñòü const = 0, ò. ê. êîãäà-òî ìàãíèòíîãî ïîëÿ íå áûëî. Òîãäà
                                     r
                                 divB = 0 .
     Ýòî ðàâåíñòâî óòâåðæäàåò, ÷òî âíóòðè îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé
òî÷êè íå ïðîèñõîäèò ðàçðûâà ëèíèé âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè, îíè
íå íà÷èíàþòñÿ è íå çàêàí÷èâàþòñÿ â ýòîé îêðåñòíîñòè (ïîäîáíî ëèíèÿì
         r
âåêòîðà D , êîòîðûå íà÷èíàþòñÿ íà îäíèõ çàðÿäàõ, à çàêàí÷èâàþòñÿ íà
äðóãèõ). Äðóãèìè ñëîâàìè, ó ëèíèé âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè íåò
íè íà÷àëà, íè êîíöà. Ñëåäîâàòåëüíî, îíè çàìêíóòû. Èìåííî ïîýòîìó
                                      r
ðàíåå ãîâîðèëè î âèõðÿõ âåêòîðà H â I óðàâíåíèè Ìàêñâåëëà.
     Ïîëó÷èì èíòåãðàëüíóþ ôîðìó çàïèñè ïðåäûäóùåãî óðàâíåíèÿ.
Äëÿ ýòîãî ïîìíîæèì äèôôåðåíöèàëüíóþ ôîðìó íà ýëåìåíò îáú¸ìà dV
è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåìó îáú¸ìó:
                                     r
                           ∫     divBdV = 0
                                                 r r
     Ïðèìåíèì òåîðåìó Ãàóññà:   ∫ B dS = 0 èëè ∫ BdS = 0 .
                                   n

     Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà III óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà èìååò òîò æå ñìûñë,
÷òî è äèôôåðåíöèàëüíàÿ, íî îòíîñèòñÿ ê êîíå÷íîìó îáú¸ìó: ñêîëüêî
ëèíèé âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè çàõîäèò â îáú¸ì, ñòîëüêî æå è
âûõîäèò. Ëèíèè âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè íèãäå íå íà÷èíàþòñÿ è
íèãäå íå çàêàí÷èâàþòñÿ. Îíè çàìêíóòû.


                 §7. IV óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà
                      (ïîâòîðíûé âûâîä)
                                                           r
                                                  r r ∂D
         Âîñïîëüçóåìñÿ I óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà: rotH = j +    .
                                                          ∂t
     Âîçüì¸ì îïåðàöèþ äèâåðãåíöèè:
                             r      r ∂    r
                       divrotH = divj + divD .
                                       ∂t
     Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî âûðàæåíèÿ ðàâíà íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî,



                                 17

Страницы