Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

20
§ 10. Âåêòîðíûé è ñêàëÿðíûé
ïîòåíöèàëû
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà  ýòî, â îáùåì ñëó÷àå, ñëîæíûå èíòåãðàëüíî-
äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ïîýòîìó íåïîñðåäñòâåííî èõ ðåøàòü
îòíîñèòåëüíî òðóäíî. Áûëè ââåäåíû äâå âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè:
âåêòîðíûé è ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàëû, áëàãîäàðÿ êîòîðûì âñå óðàâíåíèÿ
Ìàêñâåëëà ñâîäèëèñü ê îäíîìó  óðàâíåíèþ Äàëàìáåðà.
Òàê êàê âåêòîðíûé è ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàëû  âñïîìîãàòåëüíûå
ôóíêöèè, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îíè ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà íå èìåþò. Ýòî è
áóäåò ïîêàçàíî äàëüøå.
Ââåä¸ì âåêòîðíûé ïîòåíöèàë
À
r
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
A
rot
B
r
r
=
.
Òàêîé ñïîñîá ââåäåíèÿ ñîõðàíÿåò âèõðåâîé õàðàêòåð ìàãíèòíîãî
ïîëÿ. Óáåäèìñÿ, ÷òî III óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà óäîâëåòâîðÿåòñÿ òàêèì
âûáîðîì âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà. Ïîêàæåì, ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë
íå ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé, ò. ê. ââîäèòñÿ íåîäíîçíà÷íî.
Âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ ôèçè÷åñêîé, åñëè îíà: 1) îäíîçíà÷íà, 2) èçìåðèìà,
3) êîíå÷íà. Äåéñòâèòåëüíî:
A
rot
B
r
r
=
.
Ïðèáàâèì ê âåêòîðíîìó ïîòåíöèàëó
À
r
íåêîòîðóþ ïîñòîÿííóþ
âåëè÷èíó:
0
ϕ
gradAA +=
′
rr
.
Óáåäèìñÿ, ÷òî
À
′
r
îïðåäåëÿåò òî æå ñàìîå ìàãíèòíîå ïîëå:
( )
B
A
rot
rotgrad
ArotgradArotArotB
r
rrrr
r
==+=+=
′
=
′
00
ϕϕ
.
Ïîëó÷àåì, ÷òî
B
r
r
≡
′
.
Èòàê, ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè, à
âåêòîðíûé ïîòåíöèàë  âñïîìîãàòåëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ,
êîòîðóþ ìû ââåëè äëÿ óïðîùåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàñ÷¸òîâ, ÷òî áóäåò
âèäíî äàëåå. Âåä¸ì âñïîìîãàòåëüíóþ âåëè÷èíó  ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë.
Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ II óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â èíòåãðàëüíîé
ôîðìå, êóäà âìåñòî
Â
r
ïîäñòàâèì âåêòîðíûé ïîòåíöèàë, à çàòåì
âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé Ñòîêñà:
                 § 10. Âåêòîðíûé è ñêàëÿðíûé
                          ïîòåíöèàëû

     Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà – ýòî, â îáùåì ñëó÷àå, ñëîæíûå èíòåãðàëüíî-
äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ïîýòîìó íåïîñðåäñòâåííî èõ ðåøàòü
îòíîñèòåëüíî òðóäíî. Áûëè ââåäåíû äâå âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè:
âåêòîðíûé è ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàëû, áëàãîäàðÿ êîòîðûì âñå óðàâíåíèÿ
Ìàêñâåëëà ñâîäèëèñü ê îäíîìó – óðàâíåíèþ Äàëàìáåðà.
     Òàê êàê âåêòîðíûé è ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàëû – âñïîìîãàòåëüíûå
ôóíêöèè, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îíè ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà íå èìåþò. Ýòî è
áóäåò ïîêàçàíî äàëüøå.
                                       r
     Ââåä¸ì âåêòîðíûé ïîòåíöèàë À ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                                  r      r
                                  B = rotA .
     Òàêîé ñïîñîá ââåäåíèÿ ñîõðàíÿåò âèõðåâîé õàðàêòåð ìàãíèòíîãî
ïîëÿ. Óáåäèìñÿ, ÷òî III óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà óäîâëåòâîðÿåòñÿ òàêèì
âûáîðîì âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà. Ïîêàæåì, ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë
íå ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé, ò. ê. ââîäèòñÿ íåîäíîçíà÷íî.
Âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ ôèçè÷åñêîé, åñëè îíà: 1) îäíîçíà÷íà, 2) èçìåðèìà,
3) êîíå÷íà. Äåéñòâèòåëüíî:
                                  r      r
                                  B = rotA .
                                                r
     Ïðèáàâèì ê âåêòîðíîìó ïîòåíöèàëó À íåêîòîðóþ ïîñòîÿííóþ
âåëè÷èíó:
                               r    r
                              A′ = A+ gradϕ 0 .
                        r
     Óáåäèìñÿ, ÷òî À′ îïðåäåëÿåò òî æå ñàìîå ìàãíèòíîå ïîëå:
         r       r        r                r                 r r
                     (          )
         B′ = rotA′ = rot A+ gradϕ 0 = rotA+ rotgradϕ 0 = rotA = B .
     Ïîëó÷àåì, ÷òî
                               r   r
                              B′ ≡ B .
     Èòàê, ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè, à
âåêòîðíûé ïîòåíöèàë – âñïîìîãàòåëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ,
êîòîðóþ ìû ââåëè äëÿ óïðîùåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàñ÷¸òîâ, ÷òî áóäåò
âèäíî äàëåå. Âåä¸ì âñïîìîãàòåëüíóþ âåëè÷èíó – ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë.
Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ II óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â èíòåãðàëüíîé
                      r
ôîðìå, êóäà âìåñòî Â ïîäñòàâèì âåêòîðíûé ïîòåíöèàë, à çàòåì
âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé Ñòîêñà:


                                 20

Страницы