Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 21 стр.

       r r     ∂    r r         ∂     r r             ∂ r r       ∂ r r
     ∫ Edl = − ∂t ∫ BdS = −∫ ∂t rotAdS = −∫ rot ∂t AdS = −∫ ∂t Adl .
     Ïåðåíåñ¸ì ïðàâóþ ÷àñòü íàëåâî è îáúåäèíèì äâà èíòåãðàëà:
                                 r
                           r ∂A  r
                          E+
                          
                          
                             ∫  ∂t
                                    dl = 0 .
                                   
                                   
    Ïîêàæåì, ÷òî çíà÷åíèå èíòåãðàëà íå èçìåíèòñÿ, åñëè ê
ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ïðèáàâèòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë íåêîòîðîé
ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè. Îáîçíà÷èì ýòó ôóíêöèþ ϕ , òîãäà ïîëíûé
äèôôåðåíöèàë:
                               ∂ϕ r r
                          dϕ =    l 0 dl ,
                               ∂l
 ∂ϕ                                                  r
    - ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ϕ ïî l (â íàïðàâëåíèè l), l 0 - åäèíè÷íûé îðò
 ∂l
                         r
ýòîãî íàïðàâëåíèÿ dl . Ïðîâåðèì, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ
ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì. Ñîñòàâèì óñëîâèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà
(èíòåãðàë ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ):
                 dϕ r r       dϕ r r           dϕ
         ∫ dϕ = ∫ dl        ∫
                     l 0 dl =
                              dl
                                 l 0 dl cosα =
                                               dl    ∫
                                                  dl = dϕ = 0 , ∫
                   r      r     dϕ r
ãäå α – óãîë ìåæäó l 0 è dl , à    l 0 = ∇ϕ . Òàêèì îáðàçîì, ïðèáàâëåíèå
                                dl
gradϕ íå äàñò èçìåíåíèÿ:

                           r       ∂ r         r
                          ∫  E + ∂t A+ ∇ϕ dl = 0 .
     Òàê êàê êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ íå ðàâåí íóëþ, òî èíòåãðàë áóäåò
ðàâåí íóëþ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ðàâíî íóëþ.
Ñëåäîâàòåëüíî:
                                   r
                             r    ∂A
                             E=−     − ∇ϕ .
                                  ∂t



                                          21