Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

23
§ 11. Óðàâíåíèå Äàëàìáåðà
Âîñïîëüçóåìñÿ I óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â äèôôåðåíöèàëüíîé
ôîðìå
t
D
jHrot
∂
∂
+=
r
r
r
, à òàêæå V è VI óðàâíåíèÿìè
E
D
r
r
0
εε
=
è
H
B
r
r
0
µµ
=
,
êîòîðûå ïîäñòàâèì â I óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì:
t
E
jBrot
∂
∂
+=
r
r
r
000
µµεεµµ
(1)
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé áûë ââåä¸í
âåêòîðíûé ïîòåíöèàë:
ArotB
r
r
=
.
Òàêæå áûëî ïîëó÷åíî
ϕ
∇−
∂
∂
−=
t
A
E
r
r
.
Ïîäñòàâèì ýòè âåëè÷èíû â óðàâíåíèå (1):
ϕ∇
∂
∂
µµεε−
∂
∂
µµεε−µµ=
t
t
A
jArotrot
00
2
2
000
r
r
r
.
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé:
AAdivArotrot
rrr
∆−∇=
, òîãäà
ϕ∇
∂
∂
µµεε−
∂
∂
µµεε−µµ=∆−∇
t
t
A
jAAdiv
00
2
2
000
r
r
rr
.
 ïîñëåäíåì ÷ëåíå ñïðàâà èçìåíèì ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
Ñäåëàåì ïåðåñòàíîâêè ÷ëåíîâ è îáúåäèíèì äâà ÷ëåíà ñ îïåðàöèåé
∇
:
2
2
00000
t
A
Aj
t
Adiv
∂
∂
−∆=−
∂
∂
+∇
r
r
r
r
µµεεµµ
ϕ
µµεε
(2)
Âûøå áûëî äîêàçàíî, ÷òî ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàëû
 ýòî íåîäíîçíà÷íûå âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè, ïîýòîìó ìû ìîæåì íà
íèõ íàëîæèòü îãðàíè÷èòåëüíûå óñëîâèÿ, âîñïîëüçîâàâøèñü èõ
íåîäíîçíà÷íîñòüþ. Íàëîæèì íà
À
r
è
ϕ
îãðàíè÷èòåëüíîå êàëèáðîâî÷íîå
óñëîâèå, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ êàëèáðîâî÷íûì óñëîâèåì Ëîðåíöà:
0
00
=
∂
∂
+
t
Adiv
ϕ
µµεε
r
                    § 11. Óðàâíåíèå Äàëàìáåðà

         Âîñïîëüçóåìñÿ I óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â äèôôåðåíöèàëüíîé
                    r
          r r ∂D                                       r        r  r     r
ôîðìå rotH = j +      , à òàêæå V è VI óðàâíåíèÿìè D = εε 0 E è B = µµ 0 H ,
                  ∂t
êîòîðûå ïîäñòàâèì â I óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì:
                                          r
                   r        r            ∂E
               rotB = µµ 0 j + εε 0 µµ 0                          (1)
                                         ∂t
     Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé áûë ââåä¸í
âåêòîðíûé ïîòåíöèàë:
                                    r     r
                                   B = rotA .
                                              r
                                      r     ∂A
     Òàêæå áûëî ïîëó÷åíî              E=−       − ∇ϕ .
                                            ∂t
     Ïîäñòàâèì ýòè âåëè÷èíû â óðàâíåíèå (1):
                                              r
                     r        r           ∂2 A           ∂
             rotrotA = µµ 0 j − εε 0 µµ 0 2 − εε 0 µµ 0 ∇ϕ .
                                          ∂t             ∂t
                                            r        r    r
     Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé: rotrotA = ∇divA − ∆A , òîãäà
                                                r
                 r      r       r           ∂2 A            ∂
           ∇divA − ∆A = µµ 0 j − εε 0 µµ 0 2 − εε 0 µµ 0 ∇ϕ .
                                             ∂t             ∂ t
     ïîñëåäíåì ÷ëåíå ñïðàâà èçìåíèì ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
Ñäåëàåì ïåðåñòàíîâêè ÷ëåíîâ è îáúåäèíèì äâà ÷ëåíà ñ îïåðàöèåé ∇ :
                                                           r
         r               ∂ϕ         r    r            ∂2 A
      ∇ divA + εε 0 µµ 0     − µµ 0 j = ∆A − εε 0 µµ 0 2   (2)
                         ∂t                           ∂t
         Âûøå áûëî äîêàçàíî, ÷òî ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàëû
– ýòî íåîäíîçíà÷íûå âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè, ïîýòîìó ìû ìîæåì íà
íèõ íàëîæèòü îãðàíè÷èòåëüíûå óñëîâèÿ, âîñïîëüçîâàâøèñü èõ
                                r
íåîäíîçíà÷íîñòüþ. Íàëîæèì íà À è ϕ îãðàíè÷èòåëüíîå êàëèáðîâî÷íîå
óñëîâèå, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ êàëèáðîâî÷íûì óñëîâèåì Ëîðåíöà:
                           r             ∂ϕ
                        divA + εε 0 µµ 0    =0
                                         ∂t


                                    23

Страницы