Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

25
§13. Àíàëèç óðàâíåíèé Äàëàìáåðà
äëÿ âåêòîðíîãî è ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëîâ
Çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà:
j
t
A
A
r
r
r
0
2
2
00
µµµµεε
−=
∂
∂
−∆
è
0
2
2
00
εε
ρϕ
µµεεϕ
−=
∂
∂
−∆
t
.
Âåêòîðíîå óðàâíåíèå ýêâèâàëåíòíî òð¸ì ñêàëÿðíûì, ïîëó÷åííûì
â ðåçóëüòàòå ïðîåêöèè íà îñè êîîðäèíàò:
x
x
x
j
t
A
A
0
2
2
00
µµµµεε
−=
∂
∂
−∆
,
y
y
y
j
t
A
A
0
2
2
00
µµµµεε
−=
∂
∂
−∆
,
z
z
z
j
t
A
A
0
2
2
00
µµµµεε
−=
∂
∂
−∆
,
0
2
2
00
εε
ρϕ
µµεεϕ
−=
∂
∂
−∆
t
.
Âñå ýòè ðàññìàòðèâàåìûå óðàâíåíèÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ
îäíîòèïíû, ïîýòîìó, åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ
1
φ
≡
x
A
,
2
φ
≡
y
A
,
3
φ
≡
z
A
,
4
φϕ
≡
,
x
j
01
µµχ
= ,
y
j
02
µµχ
=
,
z
j
3
µµχ
=
,
0
4
εε
ρ
χ
=
,
òîãäà âñå óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà ìîæíî áóäåò çàïèñàòü â âèäå îäíîãî:
i
i
i
t
χ
φ
µµεεφ
−=
∂
∂
−∆
2
2
00
,
4
,
3
,
2
,1
=
i
(1)
1 ñëó÷àé:
Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ îáëàñòü âäàëè îò çàðÿäîâ è òîêîâ, òî
0
≡
i
χ
,
óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä:
              §13. Àíàëèç óðàâíåíèé Äàëàìáåðà
          äëÿ âåêòîðíîãî è ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëîâ

     Çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà:
                         r
         r            ∂2 A        r                 ∂ 2ϕ    ρ
        ∆A − εε 0 µµ 0 2 = − µµ 0 j è ∆ϕ − εε 0 µµ 0 2 = −      .
                      ∂t                            ∂t     εε 0
     Âåêòîðíîå óðàâíåíèå ýêâèâàëåíòíî òð¸ì ñêàëÿðíûì, ïîëó÷åííûì
â ðåçóëüòàòå ïðîåêöèè íà îñè êîîðäèíàò:
                                             ∂ 2 Ax
                       ∆Ax − εε 0 µµ 0                = − µµ 0 j x ,
                                               ∂t 2

                                             ∂ 2 Ay
                       ∆Ay − εε 0 µµ 0                = − µµ 0 j y ,
                                               ∂t 2

                                             ∂ 2 Az
                       ∆Az − εε 0 µµ 0                = − µµ 0 j z ,
                                               ∂t 2

                                               ∂ 2ϕ         ρ
                          ∆ϕ − εε 0 µµ 0              =−        .
                                  ∂t              2        εε 0
    Âñå ýòè ðàññìàòðèâàåìûå óðàâíåíèÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ
îäíîòèïíû, ïîýòîìó, åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ
                    Ax ≡ φ1 , Ay ≡ φ 2 , Az ≡ φ 3 , ϕ ≡ φ 4 ,

                                                                      ρ
            χ 1 = µµ 0 j x , χ 2 = µµ 0 j y , χ 3 = µµ 0 j z , χ 4 = εε ,
                                                                       0
òîãäà âñå óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà ìîæíî áóäåò çàïèñàòü â âèäå îäíîãî:
                                      ∂ 2φ i
                   ∆φ i − εε 0 µµ 0            = − χ i , i = 1,2,3,4        (1)
                                      ∂t 2

     1 ñëó÷àé:
      Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ îáëàñòü âäàëè îò çàðÿäîâ è òîêîâ, òî χ i ≡ 0 ,
óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä:



                                             25

Страницы