Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 24 стр.

     Òîãäà ðàâåíñòâî (2) ïðèìåò âèä:
                                      r
                      r            ∂2 A        r
                     ∆A − εε 0 µµ 0 2 = − µµ 0 j .
                                   ∂t
     Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü óðàâíåíèå Äàëàìáåðà äëÿ âåêòîðíîãî
ïîòåíöèàëà.

                §12. Âûâîä óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà
                   äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà

     Âîñïîëüçóåìñÿ IV óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â äèôôåðåíöèàëüíîé
          r                               r        r
ôîðìå: divD = ρ , à V óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà D = εε 0 E ïîäñòàâèì â IV
óðàâíåíèå è ïîëó÷èì:
                                  r    ρ
                               divE =
                                      εε 0 .
     Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé äëÿ âûâîäà ñêàëÿðíîãî
ïîòåíöèàëà:
                                  r
                          r     ∂A
                         E=−        − ∇ϕ ,
                                ∂t
òî áóäåì èìåòü:
                            r
                          ∂A               ρ
                    − div     − div∇ϕ =       .
                           ∂t            εε 0
     Èçìåíèì ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â ïåðâîì ÷ëåíå ñëåâà:
                        ∂   r        ρ
                      − divA − ∆ϕ =
                        ∂t          εε ,       0

ãäå div∇ϕ = (∇∇ϕ ) = (∇∇ )ϕ = ∇ 2ϕ = ∆ϕ .
                                     r
      ïåðâîì ÷ëåíå ñëåâà çàìåíèì divA , èñïîëüçóÿ êàëèáðîâî÷íîå
óñëîâèå Ëîðåíöà:
       ∂            ∂ϕ         ρ                     ∂ 2ϕ    ρ
          εε 0 µµ 0    − ∆ϕ =      èëè ∆ϕ − εε 0 µµ 0 2 = −      .
       ∂t           ∂t        εε 0                   ∂t     εε 0
     Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü óðàâíåíèå Äàëàìáåðà äëÿ ñêàëÿðíîãî
ïîòåíöèàëà.
                                   24