Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

22
Ìû ñâÿçàëè ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó
Å
r
ñî âñïîìîãàòåëüíûìè
âåëè÷èíàìè
À
r
è
ϕ
. Ïîêàæåì, ÷òî ââåä¸ííàÿ íàìè âñïîìîãàòåëüíàÿ
ϕ
(ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë) íåîäíîçíà÷íà, à, ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî
îïðåäåëåíèþ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë  íå
ôèçè÷åñêàÿ, à âñïîìîãàòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, êàê ñ
ïîìîùüþ ýòîé âñïîìîãàòåëüíîé âåëè÷èíû ïîëó÷àåòñÿ áîëåå ïðîñòàÿ
âîçìîæíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü âìåñòî
ϕ
ââåä¸ì
ϕ
′
òàêîå, ÷òî
0
ϕϕϕ
+=
′
, ãäå
const=
0
ϕ
åñòü ïðîèçâîëüíàÿ âåëè÷èíà. Ñîñòàâèì
ϕ
′
∇
:
( )
0
0
ϕϕϕϕϕ
∇+∇=+∇=
′
∇
.
Òàê êàê
const=
0
ϕ
è íå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ïî ñâîåìó ñìûñëó, òî
ϕϕ
∇=
′
∇ .
Ïîêàæåì, ÷òî ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò íå ñàì ñêàëÿðíûé
ïîòåíöèàë, à ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ. Ïóñòü èìååì
011
ϕϕϕ
+=
′
è
0
22
ϕϕϕ
+=
′
.
Ñîñòàâèì èõ ðàçíîñòü:
( ) ( )
1
20102010212
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
−=−−+=+−+=
′
−
′
.
Òàêèì îáðàçîì, ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò
ñîñòîÿíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â äâóõ åãî òî÷êàõ. Ëþáóþ òî÷êó
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ìîæíî ïðèíÿòü çà òî÷êó, â êîòîðîé ïîòåíöèàë ðàâåí
íóëþ, òîãäà, ãîâîðÿ î ïîòåíöèàëå äðóãèõ òî÷åê ïîëÿ, ìû ïî ñóòè äåëà
âñåãäà áóäåì èìåòü â âèäó ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè
è òîé, ïîòåíöèàë êîòîðîé ìû óñëîâíî ïðèíÿëè çà íóëü. Îáû÷íî â
òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå óñëîâíî çà íóëåâîé ïîòåíöèàë ïðèíèìàåòñÿ
ïîòåíöèàë áåñêîíå÷íî äàë¸êîé òî÷êè.  ýëåêòðîòåõíèêå çà òî÷êó
íóëåâîãî ïîòåíöèàëà ïðèíèìàþò ïîòåíöèàë Çåìëè, â ðàäèîòåõíèêå 
ïîòåíöèàë øàññè ïðèåìíèêà. Èç ñêàçàííîãî âûøå âèäíî, ÷òî
ïðèïèñûâàíèå âûäåëåííûì òî÷êàì çíà÷åíèÿ íóëåâîãî ïîòåíöèàëà íå
îçíà÷àåò, ÷òî â ýòèõ òî÷êàõ ïîòåíöèàë ðàâåí íóëþ. Îí ìîæåò èìåòü
ëþáîå çíà÷åíèå, ò. ê. ïðè ñîñòàâëåíèè ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ çíà÷åíèå
ïîòåíöèàëà â äàííîé òî÷êå àâòîìàòè÷åñêè èñêëþ÷àåòñÿ èç ðàñ÷¸òîâ (â
íàøåì ñëó÷àå ýòî áûëî
0
ϕ
).
                                          r
     Ìû ñâÿçàëè ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó Å ñî âñïîìîãàòåëüíûìè
             r
âåëè÷èíàìè À è ϕ . Ïîêàæåì, ÷òî ââåä¸ííàÿ íàìè âñïîìîãàòåëüíàÿ ϕ
 (ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë) íåîäíîçíà÷íà, à, ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî
îïðåäåëåíèþ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë – íå
ôèçè÷åñêàÿ, à âñïîìîãàòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, êàê ñ
ïîìîùüþ ýòîé âñïîìîãàòåëüíîé âåëè÷èíû ïîëó÷àåòñÿ áîëåå ïðîñòàÿ
âîçìîæíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü âìåñòî ϕ ââåä¸ì ϕ ′ òàêîå, ÷òî ϕ ′ = ϕ + ϕ 0 , ãäå
ϕ 0 = const åñòü ïðîèçâîëüíàÿ âåëè÷èíà. Ñîñòàâèì ∇ϕ ′ :
                            ∇ϕ ′ = ∇(ϕ + ϕ 0 ) = ∇ϕ + ∇ϕ 0 .
     Òàê êàê ϕ 0 = const è íå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ïî ñâîåìó ñìûñëó, òî
                                 ∇ϕ ′ = ∇ϕ .
     Ïîêàæåì, ÷òî ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò íå ñàì ñêàëÿðíûé
ïîòåíöèàë, à ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ. Ïóñòü èìååì
                     ϕ 1′ = ϕ 1 + ϕ 0 è ϕ 2′ = ϕ 2 + ϕ 0 .
     Ñîñòàâèì èõ ðàçíîñòü:
       ϕ 2′ − ϕ 1′ = (ϕ 2 + ϕ 0 ) − (ϕ 1 + ϕ 0 ) = ϕ 2 + ϕ 0 − ϕ 1 − ϕ 0 = ϕ 2 − ϕ 1 .
     Òàêèì îáðàçîì, ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò
ñîñòîÿíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â äâóõ åãî òî÷êàõ. Ëþáóþ òî÷êó
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ìîæíî ïðèíÿòü çà òî÷êó, â êîòîðîé ïîòåíöèàë ðàâåí
íóëþ, òîãäà, ãîâîðÿ î ïîòåíöèàëå äðóãèõ òî÷åê ïîëÿ, ìû ïî ñóòè äåëà
âñåãäà áóäåì èìåòü â âèäó ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè
è òîé, ïîòåíöèàë êîòîðîé ìû óñëîâíî ïðèíÿëè çà íóëü. Îáû÷íî â
òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå óñëîâíî çà íóëåâîé ïîòåíöèàë ïðèíèìàåòñÿ
ïîòåíöèàë áåñêîíå÷íî äàë¸êîé òî÷êè.  ýëåêòðîòåõíèêå çà òî÷êó
íóëåâîãî ïîòåíöèàëà ïðèíèìàþò ïîòåíöèàë Çåìëè, â ðàäèîòåõíèêå –
ïîòåíöèàë øàññè ïðèåìíèêà. Èç ñêàçàííîãî âûøå âèäíî, ÷òî
ïðèïèñûâàíèå âûäåëåííûì òî÷êàì çíà÷åíèÿ íóëåâîãî ïîòåíöèàëà íå
îçíà÷àåò, ÷òî â ýòèõ òî÷êàõ ïîòåíöèàë ðàâåí íóëþ. Îí ìîæåò èìåòü
ëþáîå çíà÷åíèå, ò. ê. ïðè ñîñòàâëåíèè ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ çíà÷åíèå
ïîòåíöèàëà â äàííîé òî÷êå àâòîìàòè÷åñêè èñêëþ÷àåòñÿ èç ðàñ÷¸òîâ (â
íàøåì ñëó÷àå ýòî áûëî ϕ 0 ).


                                             22

Страницы