Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 28 стр.

      Ñîñòàâèì âîëíîâîå óðàâíåíèå:
                          2 ∂Φ ∂ 2 Φ 1 ∂ 2 Φ
                               +     −   ⋅     =0.
                          r ∂r   ∂r 2 v 2 ∂t 2
     Ïîñêîëüêó ìû ðàññìàòðèâàëè ïîëå â âîëíîâîé çîíå, òî r ≠ 0 ,
ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåì óìíîæèòü íà r:
                              ∂Φ   ∂ 2Φ 1 ∂ 2Φ
                          2      +r 2 − 2 r 2 =0.
                              ∂r   ∂r   v  ∂t

                                                     ∂Φ ∂ 2 Φ ∂ 2 (Φr )
      Îáúåäèíèì ïåðâûå äâà ÷ëåíà 2                      +      =        .
                                                     ∂r   ∂r 2   ∂t 2
     À â òðåòüåì âíåñåì ïîä çíàê ïðîèçâîäíîé r. Òîãäà âîëíîâîå
óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä:
                              ∂ 2 ( Φr )       1 ∂ 2 ( Φr )
                                           −                  =0.
                                 ∂r 2          v2    ∂t 2
    Èìåííî ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì.
    Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèåì ýòîãî îäíîðîäíîãî
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ:
                                       r            r
                       Φ ⋅ r = f 1 (t − ) + f 2 (t + )
                                       v            v
(â ñêîáêàõ ñòîÿò íå ìíîæèòåëè, à àðãóìåíòû).
Îòêóäà:
                                                      r
                                              f 1 (t − )
                                                      v
                çàïàçäûâàþùèé ïîòåíöèàë: Φ1 =            ,
                                                    r

                                                     r
                                             f 2 (t + )
                                                     v
                îïåðåæàþùèé ïîòåíöèàë: Φ 2 =            .
                                                   r
    Ïîêàæåì ïðîèñõîæäåíèå íàçâàíèé ýòèõ ïîòåíöèàëîâ.
Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì f1, â ìîìåíò âðåìåíè t − ∆t . Òîãäà:
                                 r − v∆t                   r v∆t
                 f1 (t1 − ∆t −           ) = f 1 (t1 − ∆t − +    )=
                                    v                      v  v
                                                   r
                                        = f 1 (t1 − ) .
                                                   v

                                                28