Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

29
Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ,
ñâÿçàííûé ñ ïîòåíöèàëîì f
1
( è ñ Ô
1
) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå
îò ìåñòà íàõîæäåíèÿ èñòî÷íèêîâ ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ v, òî åñòü
çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà â ïîñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè è äàëüøå îò
èñòî÷íèêà ïîëÿ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ïîòåíöèàëà â ïðåäûäóùèé
ìîìåíò âðåìåíè è áëèæå ê èñòî÷íèêó.
Òàêèì îáðàçîì ðåøåíèå Ô
1
îïðåäåëÿåò óäàëÿþùèéñÿ âîëíîâîé
ïðîöåññ, à Ô
2
- ïðèáëèæàþùèéñÿ ê èñòî÷íèêàì ïîëÿ âîëíîâîé ïðîöåññ.
Îáîáùèì ïîëíîå ðåøåíèå íà îáëàñòü ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ è
òîêîâ
0→r
.
Óðàâíåíèå Äàëàìáåðà âáëèçè çàðÿäîâ è òîêîâ óïðîùàåòñÿ, òàê êàê
íå ñóùåñòâóåò çàïàçäûâàíèÿ è ìîæíî îòáðîñèòü âòîðîé ÷ëåí. Ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå Ïóàññîíà, ðåøåíèå êîòîðîãî íàì èçâåñòíî:
∫
π
=Φ dV
r
x
4
1
,
ïðè÷åì ýòî ðåøåíèå ñïðàâåäëèâî è â îêðåñòíîñòè r = 0.
Ìû ïîëó÷èì îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è, ñïðàâåäëèâîå è â âîëíîâîé
çîíå è âáëèçè èñòî÷íèêîâ ïîëÿ, åñëè çàïèøåì ôóíêöèîíàëüíóþ
çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò âðåìåíè òó, êîòîðóþ ìû îïðåäåëèëè äëÿ
âîëíîâîé çîíû. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, òàê êàê âèä f
1
è f
2
íàìè íå áûë
óñòàíîâëåí.
Èòàê, ïîëíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà, ñïðàâåäëèâîå äëÿ
ëþáîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä:
∫
−
π
=Φ dV
r
v
r
tx
4
1
.
Îáû÷íî ýòî âûðàæåíèå íàçûâàþò çàïàçäûâàþùèì ïîòåíöèàëîì.
§ 14. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
äëÿ âåêòîðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà çàïèñàíû äëÿ îäíîðîäíûõ èçîòðîïíûõ ñðåä.
Îá ýòîì ÿâíî áûëî ñêàçàíî ïðè ñîñòàâëåíèè V è VI óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà
(ñì. §8). Îêàçûâàåòñÿ, õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ âåêòîðîâ ïîëÿ íà ãðàíèöå
ðàçäåëà äâóõ îäíîðîäíûõ ñðåä ñîäåðæèòñÿ â ñàìèõ óðàâíåíèÿõ
Ìàêñâåëëà..
     Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ,
ñâÿçàííûé ñ ïîòåíöèàëîì f1 ( è ñ Ô1) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå
îò ìåñòà íàõîæäåíèÿ èñòî÷íèêîâ ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ v, òî åñòü
çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà â ïîñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè è äàëüøå îò
èñòî÷íèêà ïîëÿ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ïîòåíöèàëà â ïðåäûäóùèé
ìîìåíò âðåìåíè è áëèæå ê èñòî÷íèêó.
     Òàêèì îáðàçîì ðåøåíèå Ô1 îïðåäåëÿåò óäàëÿþùèéñÿ âîëíîâîé
ïðîöåññ, à Ô2 - ïðèáëèæàþùèéñÿ ê èñòî÷íèêàì ïîëÿ âîëíîâîé ïðîöåññ.
     Îáîáùèì ïîëíîå ðåøåíèå íà îáëàñòü ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ è
òîêîâ r → 0 .
     Óðàâíåíèå Äàëàìáåðà âáëèçè çàðÿäîâ è òîêîâ óïðîùàåòñÿ, òàê êàê
íå ñóùåñòâóåò çàïàçäûâàíèÿ è ìîæíî îòáðîñèòü âòîðîé ÷ëåí. Ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå Ïóàññîíà, ðåøåíèå êîòîðîãî íàì èçâåñòíî:
                               1 x
                           Φ=    ∫ dV ,
                              4π r
     ïðè÷åì ýòî ðåøåíèå ñïðàâåäëèâî è â îêðåñòíîñòè r = 0.
     Ìû ïîëó÷èì îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è, ñïðàâåäëèâîå è â âîëíîâîé
çîíå è âáëèçè èñòî÷íèêîâ ïîëÿ, åñëè çàïèøåì ôóíêöèîíàëüíóþ
çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò âðåìåíè òó, êîòîðóþ ìû îïðåäåëèëè äëÿ
âîëíîâîé çîíû. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, òàê êàê âèä f 1 è f2 íàìè íå áûë
óñòàíîâëåí.
     Èòàê, ïîëíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà, ñïðàâåäëèâîå äëÿ
ëþáîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä:

                                     r
                               x t − 
                                       
                                          dV .
                           1          v
                      Φ=     ∫
                          4π        r
     Îáû÷íî ýòî âûðàæåíèå íàçûâàþò çàïàçäûâàþùèì ïîòåíöèàëîì.


                   § 14. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
            äëÿ âåêòîðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

      Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà çàïèñàíû äëÿ îäíîðîäíûõ èçîòðîïíûõ ñðåä.
Îá ýòîì ÿâíî áûëî ñêàçàíî ïðè ñîñòàâëåíèè V è VI óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà
(ñì. §8). Îêàçûâàåòñÿ, õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ âåêòîðîâ ïîëÿ íà ãðàíèöå
ðàçäåëà äâóõ îäíîðîäíûõ ñðåä ñîäåðæèòñÿ â ñàìèõ óðàâíåíèÿõ
Ìàêñâåëëà..

                                 29

Страницы