Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

31
íîðìàëåé
1
n
r
è
2
n
r
ê îáùåé íîðìàëè
n
r
. Â ðåçóëüòàòå áóäåì èìåòü:
0
12
=∆−∆ SBSB
nn
.
Ó âòîðîãî ÷ëåíà ïîÿâëÿåòñÿ çíàê ìèíóñ, ò. ê. íîðìàëü
1
n
r
ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåí îòíîñèòåëüíî îáùåé íîðìàëè
n
r
. Ïåðåä
èíäåêñîì íîðìàëè ñòîèò èíäåêñ òîé ñðåäû, â íàïðàâëåíèè êîòîðîé
ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîòîê (ñ ó÷¸òîì çíàêà îáùåé íîðìàëè è íîðìàëè
äàííîé ñðåäû). Ó îáùåé íîðìàëè èíäåêñà íåò.
Óñòðåìèì âåëè÷èíó ïëîùàäêè âûáðàííîãî ïåðåõîäíîãî ñëîÿ ê
íóëþ
0→∆S
. Ôîðìàëüíî, ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè, ìû ïåðåõîäèì ê
òî÷êå íà ãðàíèöå ðàçäåëà.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî
nn
BB
12
=
.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè, ÷òî íîðìàëüíàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà
ìàãíèòíîé èíäóêöèè íåïðåðûâíà ïðè ïåðåõîäå ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ ñðåä.
Âîñïîëüçóåìñÿ VI óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà:
H
B
r
r
0
µµ
=
, òîãäà
nn
HH
101202
µµµµ
=
.
Èñõîäÿ èç ýòîãî ðàâåíñòâà, ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:
1) Åñëè
21
µµ
= , òî ïîëó÷àåì, ÷òî íîðìàëüíàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà
H
r
íåïðåðûâíà ïðè ïåðåõîäå ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ ñðåä.
2) Åñëè
21
µµ
≠ , òî íîðìàëüíûå êîìïîíåíòû
H
r
èñïûòûâàþò
ñêà÷îê.
Ïîâåäåíèå íîðìàëüíûõ
êîìïîíåíò âåêòîðîâ
D
r
è
E
r
íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ IV óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â
èíòåãðàëüíîé ôîðìå:
∫
=
QdSD
n
. Çäåñü ïîä Q ïîíèìàåòñÿ âåëè÷èíà
çàðÿäà, çàêëþ÷¸ííîãî â îáú¸ìå, îõâà÷åííîãî ïîâåðõíîñòüþ
èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà Q=0. Ýòîò ñëó÷àé àíàëîãè÷åí ñëó÷àþ,
ðàññìîòðåííîìó ðàíåå, ò. å.
         r    r                   r
íîðìàëåé n1 è n 2 ê îáùåé íîðìàëè n . Â ðåçóëüòàòå áóäåì èìåòü:
                          B2 n ∆S − B1n ∆S = 0 .
                                                                   r
     Ó âòîðîãî ÷ëåíà ïîÿâëÿåòñÿ çíàê ìèíóñ, ò. ê. íîðìàëü n1
                                                           r
ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåí îòíîñèòåëüíî îáùåé íîðìàëè n . Ïåðåä
èíäåêñîì íîðìàëè ñòîèò èíäåêñ òîé ñðåäû, â íàïðàâëåíèè êîòîðîé
ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîòîê (ñ ó÷¸òîì çíàêà îáùåé íîðìàëè è íîðìàëè
äàííîé ñðåäû). Ó îáùåé íîðìàëè èíäåêñà íåò.
     Óñòðåìèì âåëè÷èíó ïëîùàäêè âûáðàííîãî ïåðåõîäíîãî ñëîÿ ê
íóëþ ∆S → 0 . Ôîðìàëüíî, ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè, ìû ïåðåõîäèì ê
òî÷êå íà ãðàíèöå ðàçäåëà.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî
                               B2 n = B1n .
     Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè, ÷òî íîðìàëüíàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà
ìàãíèòíîé èíäóêöèè íåïðåðûâíà ïðè ïåðåõîäå ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ ñðåä.
                                                   r   r
     Âîñïîëüçóåìñÿ VI óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà: B = µµ 0 H , òîãäà
                         µ 2 µ 0 H 2 n = µ 1 µ 0 H1n .
     Èñõîäÿ èç ýòîãî ðàâåíñòâà, ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:
     1) Åñëè µ1 = µ 2 , òî ïîëó÷àåì, ÷òî íîðìàëüíàÿ ïðîåêöèÿ âåêòîðà
 r
H íåïðåðûâíà ïðè ïåðåõîäå ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ ñðåä.
                                                      r
     2) Åñëè µ1 ≠ µ 2 , òî íîðìàëüíûå êîìïîíåíòû H èñïûòûâàþò
ñêà÷îê.


Ïîâåäåíèå íîðìàëüíûõ
                     r    r
êîìïîíåíò âåêòîðîâ D è E
íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä.
     Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ IV óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â

èíòåãðàëüíîé ôîðìå:    ∫ D dS = Q . Çäåñü ïîä Q ïîíèìàåòñÿ âåëè÷èíà
                          n

çàðÿäà, çàêëþ÷¸ííîãî â îáú¸ìå, îõâà÷åííîãî ïîâåðõíîñòüþ
èíòåãðèðîâàíèÿ.
     Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà Q=0. Ýòîò ñëó÷àé àíàëîãè÷åí ñëó÷àþ,
ðàññìîòðåííîìó ðàíåå, ò. å.



                                   31

Страницы