Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 38 стр.

     Ïðè ñîñòàâëåíèè ∇ϕ ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ Ñ èñ÷åçàåò.
                            r
Ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíà E ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé. Îíà
îäíîçíà÷íà (â êàæäîé òî÷êå ïîëÿ èìååò îäíî îïðåäåë¸ííîå çíà÷åíèå),
èçìåðèìà ïî ñèëîâîìó âîçäåéñòâèþ íà ïðîáíûé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä.
                      r
Íàïðÿæ¸ííîñòü ïîëÿ E - ñèëîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ.
     Ðàíåå ìû ïîëó÷èëè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ âåêòîðîâ ïîëÿ. Ò. ê.
äëÿ îïèñàíèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî äâà
         r    r        r     r
âåêòîðà E è D , ãäå D = εε 0 E , òî ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ýòèõ âåêòîðîâ
ñîõðàíÿþòñÿ è â ýëåêòðîñòàòèêå. Íî çäåñü ïîÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå
                                                   r
ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, åñëè ó÷åñòü ñîîòíîøåíèå ìåæäó E è ∇ϕ .
                                        r
     Èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ E , ìîæíî ïîëó÷èòü è ïîâåäåíèå
ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà ϕ íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä. Ïðè ýòîì
ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî
                                 ∂ϕ          ∂ϕ
                        En = −      ; Eτ = −    .
                                 ∂n          ∂τ
     Ñîñòàâèì ýòè ïðîèçâîäíûå íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä, èñïîëüçóÿ
ïîâåäåíèå En è Eτ íà ýòîé æå ãðàíèöå.
                                 ∂ϕ 2    ∂ϕ
                       E2n = −        = − 1 = E1n
                                 ∂n 2    ∂n1
     Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü ïåðâîé ïðîèçâîäíîé îò
ïîòåíöèàëà ïî íàïðàâëåíèþ íîðìàëè ïðè óñëîâèè îòñóòñòâèÿ
ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ. Àáñîëþòíî òàê æå ìîæíî ïîëó÷èòü
íåïðåðûâíîñòü ïåðâîé ïðîèçâîäíîé îò ïîòåíöèàëà ïî êàñàòåëüíîé:
                                 ∂ϕ 2    ∂ϕ
                       E2τ = −        = − 1 = E1τ .
                                 ∂τ 2    ∂τ 1
     Ñóùåñòâóåò åù¸ îäíî ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ ïîâåäåíèÿ ñêàëÿðíîé
ôóíêöèè. Âûáðàâ íóëåâóþ òî÷êó îòñ÷¸òà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà,
ìû äëÿ çíà÷åíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä
ïîëó÷èì âåëè÷èíó, êîòîðóþ âûøå îïðåäåëèëè êàê ÷èñëåííî ðàâíóþ
ðàáîòå ïî ïåðåìåùåíèþ åäèíè÷íîãî çàðÿäà. Íî, ïåðåìåùàÿ çàðÿä èç
âûáðàííîé òî÷êè ïî ëþáîìó ïóòè â äàííóþ òî÷êó ãðàíèöû ðàçäåëà, ìû
áóäåì ñîâåðøàòü îäíó è òó æå ðàáîòó. Ñëåäîâàòåëüíî, ê ïðåäûäóùèì
ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì äîáàâèòñÿ åù¸ îäíî:
                              ϕ 2 = ϕ1 ,
     ñïðàâåäëèâîå íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä.

                                    38