Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

42
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåïðåðûâíî ðàñïðåäåë¸ííûå çàðÿäû. Ââåä¸ì
ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ýòèõ çàðÿäîâ
ρ
, òîãäà â íåêîòîðîì
ýëåìåíòàðíîì îáú¸ìå dV áóäåò íàõîäèòüñÿ çàðÿä dq. Òîãäà ïðåäûäóùàÿ
ôîðìóëà çàïèøåòñÿ òàê:
∫
= dVW
ρϕ
2
1
,
ãäå
()
zyx,,
ρρ
=
,
()
zyx,,
ϕϕ
=
.
Ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü
ýíåðãèþ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåë¸ííûõ çàðÿäîâ.
Ïðèäàäèì ýòîé ôîðìóëå èíîé ýêâèâàëåíòíûé âèä. Âîñïîëüçóåìñÿ
IV óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå:
ρ
=
D
div
r
,
êîòîðîå óòâåðæäàåò, ÷òî èñòî÷íèêîì ñèëîâûõ ëèíèé ÿâëÿþòñÿ çàðÿäû.
Ñäåëàåì ïîäñòàíîâêó:
∫
= dVDdivW
r
ϕ
2
1
.
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé âåêòîðíîãî àíàëèçà:
( )
ϕϕϕ
grad
DDdivDdiv
rrr
+=
,
èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî
( )
ϕϕϕ
grad
DDdivDdiv
rrr
−=
.
Ïîëó÷àåì, ÷òî
∫∫
−= dVgradDdVDdivW
ϕϕ
rr
2
1
)(
2
1
.
Ðàñïðîñòðàíèì èíòåãðèðîâàíèå â ïåðâîì ÷ëåíå íà âñþ îáëàñòü, â
êîòîðîé ñóùåñòâóåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Äëÿ áîëüøåé óáåäèòåëüíîñòè
çàìåíèì ïåðâûé èíòåãðàë èíòåãðàëîì ïî ïîâåðõíîñòè, èñïîëüçóÿ
òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà:
∫∫
==
0
)()(
dS
DdVDdiv
n
rr
ϕϕ
,
òàê êàê çà ïðåäåëàìè îáúåìà ïîëÿ íåò è D
n
= 0.
Òîãäà
∫
−= dVgradDW
ϕ
r
2
1
.
     Áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåïðåðûâíî ðàñïðåäåë¸ííûå çàðÿäû. Ââåä¸ì
ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ýòèõ çàðÿäîâ ρ , òîãäà â íåêîòîðîì
ýëåìåíòàðíîì îáú¸ìå dV áóäåò íàõîäèòüñÿ çàðÿä dq. Òîãäà ïðåäûäóùàÿ
ôîðìóëà çàïèøåòñÿ òàê:
                                    1
                               W=
                                    2   ∫ ρϕdV ,
ãäå ρ = ρ (x, y, z ) , ϕ = ϕ (x, y, z ) .
     Ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü
ýíåðãèþ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåë¸ííûõ çàðÿäîâ.
     Ïðèäàäèì ýòîé ôîðìóëå èíîé ýêâèâàëåíòíûé âèä. Âîñïîëüçóåìñÿ
IV óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå:
                                             r
                                          divD = ρ ,
êîòîðîå óòâåðæäàåò, ÷òî èñòî÷íèêîì ñèëîâûõ ëèíèé ÿâëÿþòñÿ çàðÿäû.
     Ñäåëàåì ïîäñòàíîâêó:
                              1       r
                          W=
                              2     ∫
                                 ϕdivDdV .

     Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé âåêòîðíîãî àíàëèçà:
                           r       r r
                              ( )
                      div ϕD = ϕdivD + Dgradϕ ,
èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî
                          r        r r
                                    ( )
                      ϕdivD = div ϕD − Dgradϕ .
Ïîëó÷àåì, ÷òî
                     1          r      1 r
                 W=
                     2    ∫
                          div (ϕD)dV −
                                       2     ∫
                                          DgradϕdV .

     Ðàñïðîñòðàíèì èíòåãðèðîâàíèå â ïåðâîì ÷ëåíå íà âñþ îáëàñòü, â
êîòîðîé ñóùåñòâóåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Äëÿ áîëüøåé óáåäèòåëüíîñòè
çàìåíèì ïåðâûé èíòåãðàë èíòåãðàëîì ïî ïîâåðõíîñòè, èñïîëüçóÿ
òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà:
                             r          r
                     ∫                  ∫
                      div (ϕD) dV = (ϕD) n dS = 0 ,
òàê êàê çà ïðåäåëàìè îáúåìà ïîëÿ íåò è Dn= 0.
Òîãäà
                              1 r
                        W=−
                              2     ∫
                                 DgradϕdV .


                                        42

Страницы