Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

43
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ââîäèòñÿ ñêàëÿðíûé
ïîòåíöèàë:
ϕ
gradE −=
r
, òîãäà
∫
= dVEDW
rr
2
1
.
Ýòà ôîðìóëà îñíîâàíà íà ðåàëüíîì ñóùåñòâîâàíèè
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ, íåçàâèñèìî îò åãî ïðèðîäû.
Ïîêàæåì, ÷òî ýíåðãèÿ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåë¸ííûõ çàðÿäîâ
(ýíåðãèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ) åñòü âåëè÷èíà âñåãäà ïîëîæèòåëüíàÿ
(õîòÿ èíîãäà ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ). Ñîãëàñíî V óðàâíåíèþ Ìàêñâåëëà
ED
rr
0
εε
=
, ïîëó÷àåì:
0
2
1
2
0
≥εε=
∫
dVEW
.
Ïóñòü
2
2
0
E
w
εε
=
- îáú¸ìíàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé
ýíåðãèè, òîãäà
∫
= wdVW
(*)
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ñëàãàåòñÿ èç
äâóõ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé, ò. å.
2
1
E
EE
r
rr
+=
.
21
2
2
2
1
2
2
EEEEE
rr
++=
Ïîìíîæèì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà
0
2
1
εε
è ïîäñòàâèì â (*):
∫∫∫∫
++= dVEEdVEdVEdVE
210
2
20
2
10
2
0
2
2
1
2
1
2
1
2
1
rr
εεεεεεεε
.
Ñëåâà ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿ ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû äâóõ
ïîëåé, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ â îäíîì è òîì æå îáú¸ìå. Ïåðâîå ñëàãàåìîå
ñïðàâà åñòü ýíåðãèÿ ïåðâîãî ïîëÿ. Âòîðîé ÷ëåí  ýíåðãèÿ âòîðîãî ïîëÿ,
òðåòèé  ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ïîëåé, ò. ê. ýëåêòðîñòàòè÷åñêèå ïîëÿ 
ìàòåðèàëüíûå îáúåêòû è îíè ìîãóò âçàèìîäåéñòâîâàòü äðóã ñ äðóãîì.
Ïîêàæåì, ÷òî ñóììàðíàÿ ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ ïîëåé
1
Å
r
è
2
Å
r
áîëüøå
èëè, â êðàéíåì ñëó÷àå, ìîæåò áûòü ðàâíà ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ýòèõ
ïîëåé. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
     Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ââîäèòñÿ ñêàëÿðíûé
           r
ïîòåíöèàë: E = − gradϕ , òîãäà

                                1 rr
                             W=
                                2  ∫DEdV .

      Ýòà ôîðìóëà îñíîâàíà íà ðåàëüíîì ñóùåñòâîâàíèè
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ, íåçàâèñèìî îò åãî ïðèðîäû.
      Ïîêàæåì, ÷òî ýíåðãèÿ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåë¸ííûõ çàðÿäîâ
(ýíåðãèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ) åñòü âåëè÷èíà âñåãäà ïîëîæèòåëüíàÿ
(õîòÿ èíîãäà ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ). Ñîãëàñíî V óðàâíåíèþ Ìàêñâåëëà
 r        r
 D = εε 0 E , ïîëó÷àåì:
                             1
                        W=     εε 0 ∫ E 2 dV ≥ 0 .
                             2
                 εε 0 E 2
     Ïóñòü w =            - îáú¸ìíàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé
                    2
ýíåðãèè, òîãäà

                         ∫
                     W = wdV                                    (*)
     Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ñëàãàåòñÿ èç
                                       r r       r
äâóõ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé, ò. å. E = E1 + E2 .
                                           r r
                       E 2 = E12 + E22 + 2 E1 E2
                                              1
     Ïîìíîæèì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà            εε 0 è ïîäñòàâèì â (*):
                                              2
     1              1             1              1       r r
     2    ∫              ∫                ∫                ∫
       εε 0 E 2 dV = εε 0 E12 dV + εε 0 E22 dV + εε 0 2 E1 E2 dV .
                    2             2              2
     Ñëåâà ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿ ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû äâóõ
ïîëåé, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ â îäíîì è òîì æå îáú¸ìå. Ïåðâîå ñëàãàåìîå
ñïðàâà åñòü ýíåðãèÿ ïåðâîãî ïîëÿ. Âòîðîé ÷ëåí – ýíåðãèÿ âòîðîãî ïîëÿ,
òðåòèé – ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ïîëåé, ò. ê. ýëåêòðîñòàòè÷åñêèå ïîëÿ –
ìàòåðèàëüíûå îáúåêòû è îíè ìîãóò âçàèìîäåéñòâîâàòü äðóã ñ äðóãîì.
                                                      r     r
Ïîêàæåì, ÷òî ñóììàðíàÿ ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ ïîëåé Å1 è Å 2 áîëüøå
èëè, â êðàéíåì ñëó÷àå, ìîæåò áûòü ðàâíà ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ýòèõ
ïîëåé. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:

                                   43

Страницы