Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

48
§1. Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë
Ðàíåå ìû ïîëó÷àëè óðàâíåíèå Äàëàìáåðà äëÿ âåêòîðíîãî
ïîòåíöèàëà:
j
t
A
A
r
r
r
0
2
2
00
µµµµεε
−=
∂
∂
−∆
.
Ò. ê. ìû ðàññìàòðèâàåì ñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû, òî âòîðîé ÷ëåí
ìîæíî îòáðîñèòü:
jA
r
r
0
µµ
−=∆
.
Ñðàâíèì ýòî óðàâíåíèå Ïóàññîíà ñ óðàâíåíèåì Ïóàññîíà äëÿ
ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà:
0
εε
ρ
ϕ
−=∆
,
ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå
∫
=
dV
r
ρ
πεε
ϕ
0
4
1
. Ñðàâíèâàÿ
ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé äëÿ
À
r
è
ϕ
, ìîæíî íàïèñàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
Ïóàññîíà äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà:
∫
= dV
r
j
A
r
r
π
µµ
4
0
.
Îòêóäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë
À
r
íàïðàâëåí âäîëü ïëîòíîñòè òîêà
j
r
. Ò. ê. ìû ðàññìàòðèâàåì ëèíåéíûå
òîêè, òî íàïèøåì âûðàæåíèå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà äëÿ ëèíåéíûõ
òîêîâ, ó÷èòûâàÿ, ÷òî íàïðàâëåíèå òîêà è íàïðàâëåíèå ïðîâîäíèêà
ñîâïàäàþò:
lIdSdljdVj
r
rr
==
.
Äëÿ ëèíåéíûõ ïîñòîÿííûõ òîêîâ âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðíîãî
ïîòåíöèàëà çàïèøåòñÿ òàê:
∫
=
r
ld
I
A
r
r
π
µµ
4
0
.
                   §1. Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë

     Ðàíåå ìû ïîëó÷àëè óðàâíåíèå Äàëàìáåðà äëÿ âåêòîðíîãî
ïîòåíöèàëà:
                                      r
                       r           ∂2 A        r
                     ∆A − εε 0 µµ 0 2 = − µµ 0 j .
                                   ∂t
     Ò. ê. ìû ðàññìàòðèâàåì ñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû, òî âòîðîé ÷ëåí
ìîæíî îòáðîñèòü:
                                r        r
                             ∆A = − µµ 0 j .
     Ñðàâíèì ýòî óðàâíåíèå Ïóàññîíà ñ óðàâíåíèåì Ïóàññîíà äëÿ
ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà:
                                      ρ
                            ∆ϕ = −
                                     εε 0 ,

                                              1     ρ
ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå ϕ = 4πεε
                                                0
                                                 ∫  r
                                                      dV . Ñðàâíèâàÿ

                            r
ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé äëÿ À è ϕ , ìîæíî íàïèñàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
Ïóàññîíà äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà:
                                     r
                           r µµ 0 j
                          A=
                               4π ∫  r
                                       dV .
                                                                   r
    Îòêóäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë À
                                r
íàïðàâëåí âäîëü ïëîòíîñòè òîêà j . Ò. ê. ìû ðàññìàòðèâàåì ëèíåéíûå
òîêè, òî íàïèøåì âûðàæåíèå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà äëÿ ëèíåéíûõ
òîêîâ, ó÷èòûâàÿ, ÷òî íàïðàâëåíèå òîêà è íàïðàâëåíèå ïðîâîäíèêà
ñîâïàäàþò:
                         r      r         r
                         j dV = j Sdl = Idl .
     Äëÿ ëèíåéíûõ ïîñòîÿííûõ òîêîâ âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðíîãî
ïîòåíöèàëà çàïèøåòñÿ òàê:
                                     r
                          r µµ 0 I dl
                          A=
                             4π     r ∫.




                                48

Страницы