Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

52
[ ]
122
21
BdldIFd
ì
r
r
r
=
(1)
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Áèî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà äëÿ ñóììàðíîé
èíäóêöèè ëèíåéíîãî òîêà:
[ ]
∫
π
µµ
=
3
0
4
r
rld
IB
r
r
r
,
ïîëó÷èì
[ ]
3
0
4
r
rld
IBd
r
r
r
π
µµ
=
.
Ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó äëÿ èíäóêöèè ýëåìåíòà òîêà. Ôîðìóëà äëÿ
èíäóêöèè ýëåìåíòà ïåðâîãî òîêà â ìåñòå íàõîæäåíèÿ âòîðîãî òîêà áóäåò
èìåòü âèä:
[ ]
3
21
211
1
0
1
4
r
rld
IBd
r
r
r
π
µµ
=
.
Åñëè ýòî âûðàæåíèå ïîäñòàâèòü â ôîðìóëó (1), òî ïîëó÷èì:
[ ]
[ ][ ]
21
12
3
21
21
0
3
21
211
221
0
21
1
44
r
l
dld
r
II
r
rld
ldIIFd
ì
rr
r
r
r
r
π
µµ
π
µµ
=
=
.
Ñîîòâåòñòâåííî ìû ìîæåì íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ
12
ì
Fd
r
:
[][]
1221
3
12
21
012
1
4
rldld
r
IIFd
ì
r
rr
r
π
µµ
=
.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó âåêòîðíîé àëãåáðû
[ ][ ]
( )
( )
b
a
c
cabcba
r
r
rrr
r
r
r
r
−=
, ëåãêî
ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
2112
ìì
FdFd
rr
≠
íè ïî ìîäóëþ, íè ïî íàïðàâëåíèþ.
Îäíàêî ñóùåñòâóþò ÷àñòíûå ñëó÷àè, êîãäà III çàêîí ìåõàíèêè
âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ ýëåìåíòîâ òîêà. Ýòî ñëó÷àé, êîãäà ýëåìåíòû
2
ld
r
è
1
ld
r
ïàðàëëåëüíû èëè àíòèïàðàëëåëüíû.
×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ïðîâåðèòü ñëó÷àé,
êîãäà îäèí èç ýëåìåíòîâ òîêà ïåðïåíäèêóëÿðåí äðóãîìó ýëåìåíòó è
ïîëó÷èòü íåîæèäàííûé ðåçóëüòàò, íàä êîòîðûì ñòîèò ïîäóìàòü.
                     r
                                   [
                                 r r
                   dF ì21 = I 2 dl 2 dB1    ]     (1)
    Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Áèî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà äëÿ ñóììàðíîé
èíäóêöèè ëèíåéíîãî òîêà:
                           r µµ 0
                           B=
                                          rr
                                            [ ]
                                         dl r
                                      I∫ 3 ,
                                 4π      r


ïîëó÷èì
                            r µµ 0 dl rr
                          dB =
                                          r
                                       I 3 .
                                            [ ]
                                  4π     r
     Ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó äëÿ èíäóêöèè ýëåìåíòà òîêà. Ôîðìóëà äëÿ
èíäóêöèè ýëåìåíòà ïåðâîãî òîêà â ìåñòå íàõîæäåíèÿ âòîðîãî òîêà áóäåò
èìåòü âèä:
                        r
                       dB1 =
                             µµ 0
                                  I1
                                       rr
                                     dl1 r21    [         ]
                              4π        3    .
                                       r21
     Åñëè ýòî âûðàæåíèå ïîäñòàâèòü â ôîðìóëó (1), òî ïîëó÷èì:
          r 21 µµ 0
        dF ì =
                               [
                    I1 I 2 dl 2
                                 r
                                       ]
                            r dl1 rr21  µµ 0
                                        =
                                                      1 r rr
                                                                     [ [
                                               I1 I 2 3 dl 2 dl1 r21 .     ]
                4π         
                                   3
                                 r21     4π        r21
                                                                    r
     Ñîîòâåòñòâåííî ìû ìîæåì íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ dFì12 :
                    r
                   dF ì12 =
                            µµ 0
                             4π
                                         1 r rr
                                                    [ [
                                  I1 I 2 3 dl1 dl 2 r12 .
                                        r12
                                                                ]]
                                                  r rr
                                                              [[ ]
                                                          r rr r r r
     Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó âåêòîðíîé àëãåáðû a b c = b (ac ) − c ab , ëåãêî    ( )
                        r       r
ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî dF ì12 ≠ dF ì21 íè ïî ìîäóëþ, íè ïî íàïðàâëåíèþ.
Îäíàêî ñóùåñòâóþò ÷àñòíûå ñëó÷àè, êîãäà III çàêîí ìåõàíèêè
                                                                     r
âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ ýëåìåíòîâ òîêà. Ýòî ñëó÷àé, êîãäà ýëåìåíòû dl 2 è
 r
dl1 ïàðàëëåëüíû èëè àíòèïàðàëëåëüíû.
     ×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ïðîâåðèòü ñëó÷àé,
êîãäà îäèí èç ýëåìåíòîâ òîêà ïåðïåíäèêóëÿðåí äðóãîìó ýëåìåíòó è
ïîëó÷èòü íåîæèäàííûé ðåçóëüòàò, íàä êîòîðûì ñòîèò ïîäóìàòü.




                                       52

Страницы