Конспекты лекций по электродинамике. Розман Г.А. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

53
§3. Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ïîñòîÿííîãî òîêà
Íèæå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ïëîòíîñòü ìàãíèòíîé ýíåðãèè
ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå:
2
2
0
H
w
µµ
=
.
Ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó ñ ïîìîùüþ VI óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà
HB
rr
0
µµ
=
è âûðàæåíèÿ
HHH
rr
=
2
:
2
BH
w
rr
=
.
Óìíîæèì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ íà dV è ïðîèíòåãðèðóåì
ïî âñåìó îáú¸ìó íàõîæäåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, òîãäà
∫
= dVBHW
rr
2
1
.
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé
ArotB
r
r
=
, ïîëó÷èì:
∫
= dVArotHW
r
r
2
1
.
Èñïîëüçóåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó âåêòîðíîãî àíàëèçà:
[ ]
HrotAArotHAHdiv
r
rr
r
r
r
−=
,
[ ]
H
rot
AAHdivArotH
r
rr
r
r
r
+=
, ïîäñòàâèì ýòè
ôîðìóëû â âûðàæåíèå äëÿ W è ïîëó÷èì:
[]
{
}
∫∫
+= dVHrotAdVAHdivW
r
rr
r
2
1
.
Ìû èíòåãðèðóåì ïî âñåìó îáú¸ìó, ãäå åñòü ìàãíèòíîå ïîëå.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâûé ÷ëåí äàñò íóëü, ò. ê. çà ïðåäåëàìè
èíòåãðèðîâàíèÿ èñòå÷åíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íå áóäåò. Ýòî ëåãêî
ïîêàçàòü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Ãàóññà è ïåðåéòè îò èíòåãðàëà
ïî îáú¸ìó ê èíòåãðàëó ïî ïîâåðõíîñòè:
[] []
∫∫
== 0dSAHAHdiv
n
r
r
r
r
.
Èòàê,
∫
= dVHrotAW
r
r
2
1
.
Âîñïîëüçóåìñÿ I óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà äëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà:
                 §3. Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ
                       ïîñòîÿííîãî òîêà

     Íèæå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ïëîòíîñòü ìàãíèòíîé ýíåðãèè
ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå:
                                µµ 0 H 2
                            w=           .
                                   2
     Ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó ñ ïîìîùüþ VI óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà
 r       r                   rr
B = µµ 0 H è âûðàæåíèÿ H 2 = HH :
                                   rr
                                  HB
                              w=       .
                                   2
     Óìíîæèì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ íà dV è ïðîèíòåãðèðóåì
ïî âñåìó îáú¸ìó íàõîæäåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, òîãäà
                               1 rr
                          W=
                               2     ∫
                                   HBdV .
                              r       r
     Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé B = rotA , ïîëó÷èì:
                                 1 r r
                          W=     ∫
                                 2
                                     HrotAdV .

     Èñïîëüçóåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó âåêòîðíîãî àíàëèçà:
        [ ]
         rr     r r r      r     r r
                                             [ ]
                                            rr r   r
     div HA = HrotA− ArotH , HrotA = div HA + ArotH , ïîäñòàâèì ýòè
ôîðìóëû â âûðàæåíèå äëÿ W è ïîëó÷èì:

                    W=
                        1
                        2
                         {∫ [ ] ∫ rr       r   r
                             div HA dV + ArotHdV . }
     Ìû èíòåãðèðóåì ïî âñåìó îáú¸ìó, ãäå åñòü ìàãíèòíîå ïîëå.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâûé ÷ëåí äàñò íóëü, ò. ê. çà ïðåäåëàìè
èíòåãðèðîâàíèÿ èñòå÷åíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íå áóäåò. Ýòî ëåãêî
ïîêàçàòü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Ãàóññà è ïåðåéòè îò èíòåãðàëà
ïî îáú¸ìó ê èíòåãðàëó ïî ïîâåðõíîñòè:

                       ∫ [ ] ∫[ ]
                              rr      rr
                         div HA = HA n dS = 0 .

                               1 r   r
     Èòàê,                   W=
                               2         ∫
                                 ArotHdV .

     Âîñïîëüçóåìñÿ I óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà äëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà:
                                     53

Страницы