Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

106
(òåîðèÿ âûíóæäåííûõ êâàíòîâûõ ïåðåõîäîâ)
Ïóñòü äî ìîìåíòà âðåìåíè
0
0
=t
ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ïîñòîÿííîì
ïîëå, îïèñûâàåìîì ãàìèëüòîíèàíîì
0
ˆ
H
è áûëà â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿ-
íèè
0
k
Ψ
. Â ìîìåíò âðåìåíè 0
0
=t íà íåå ñòàëî äåéñòâîâàòü âîçìóùåíèå
),( txV
è ïðîäîëæàëî äåéñòâîâàòü äî ìîìåíòà âðåìåíè T. Çàòåì âîçìóùå-
íèå âûêëþ÷àåòñÿ. Ñòàâèòñÿ çàäà÷à îïðåäåëèòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â ìî-
ìåíòû âðåìåíè t>T.
Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì âîçìó-
ùåíèÿ
),(tV
óäîâëåòâîðÿåò ïîëíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà :
.))(
ˆ
(
0
Ψ+=
∂
Ψ∂
tVH
t
ih
(31.1)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ
(31.1), ïðåäñòàâèì å¸ â âèäå ðÿäà:
∑
−=Ψ
),exp()( tE
i
utÑ
kkk
h
(31.2)
−
nn
u
è
E
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íåâîçìó-
ùåííîãî îïåðàòîðà
0
ˆ
H
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äî âêëþ÷åíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñèñòåìà íàõîäè-
ëàñü â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé
.
n
E
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè t
≤
0 â
ñóììå (31.2) îòëè÷íî îò íóëÿ òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå:
),exp( tE
i
u
nn
íà÷
h
−=Ψ
÷òî ýêâèâàëåíòíî ñèìâîëè÷åñêîé çàïèñè
kn
k
t
Ñ
δ
=
)(
ïðè
.0≤t
Ïî èñòå÷åíèè äåéñòâèÿ âîçìóùåíèÿ, ò.å. ïðè
,Tt
≥
êîýôôèöèåíòû
k
C
ñíîâà ïðèíèìàþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ
),(
t
C
mn
èõ âåëè÷èíà çàâèñèò
îò âèäà îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ
)(tV
è íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå îò-
ìå÷àåòñÿ âòîðûì èíäåêñîì.
Èòàê, ïðè
Tt >
ñèñòåìà áóäåò íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ñ âîëíîâîé
        (òåîðèÿ âûíóæäåííûõ êâàíòîâûõ ïåðåõîäîâ)
     Ïóñòü äî ìîìåíòà âðåìåíè t0 = 0 ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ïîñòîÿííîì

ïîëå, îïèñûâàåìîì ãàìèëüòîíèàíîì Ĥ 0 è áûëà â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿ-

íèè Ψk 0 . Â ìîìåíò âðåìåíè    t0 = 0 íà íåå ñòàëî äåéñòâîâàòü âîçìóùåíèå
V ( x , t ) è ïðîäîëæàëî äåéñòâîâàòü äî ìîìåíòà âðåìåíè T. Çàòåì âîçìóùå-
íèå âûêëþ÷àåòñÿ. Ñòàâèòñÿ çàäà÷à îïðåäåëèòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â ìî-
ìåíòû âðåìåíè t>T.
          Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì âîçìó-
ùåíèÿ V (t ), óäîâëåòâîðÿåò ïîëíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà :
                      ∂Ψ
                    ih    = ( Hˆ 0 + V (t )) Ψ.          (31.1)
                       ∂t
      Äëÿ íàõîæäåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ
(31.1), ïðåäñòàâèì å¸ â âèäå ðÿäà:
                                                 i
                    Ψ = ∑ Ñ k (t )uk exp( −        E k t ),              (31.2)
                                                 h
      E n è un − ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íåâîçìó-
ùåííîãî îïåðàòîðà   Ĥ 0
     Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äî âêëþ÷åíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñèñòåìà íàõîäè-
ëàñü â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé           En . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè t ≤ 0 â
ñóììå (31.2) îòëè÷íî îò íóëÿ òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå:
                                              i
                           Ψíà÷ = un exp( −     E n t ),
                                              h
÷òî ýêâèâàëåíòíî ñèìâîëè÷åñêîé çàïèñè Ñ k (t ) = δ kn ïðè t ≤ 0.


     Ïî èñòå÷åíèè äåéñòâèÿ âîçìóùåíèÿ, ò.å. ïðè t ≥ T , êîýôôèöèåíòû
Ck ñíîâà ïðèíèìàþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ Cmn (t ), èõ âåëè÷èíà çàâèñèò
îò âèäà îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ V (t ) è íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå îò-
ìå÷àåòñÿ âòîðûì èíäåêñîì.
     Èòàê, ïðè t > T ñèñòåìà áóäåò íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ñ âîëíîâîé

                                      106

Страницы