Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

107
ôóíêöèåé:
∑
−=Ψ
m
m
mmnêîí
t
iE
utC
).exp()(
h
Ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â íåêîòîðîì ñòà-
öèîíàðíîì ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé ,
m
E
áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êâàäðàòîì ìî-
äóëÿ êîýôôèöèåíòà :)(tC
mn
.)(
2
tCP
mnmn
=
mn
P
îäíîâðåìåííî îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ñèñòåìû çà âðå-
ìÿ T èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ n êîíå÷íîå m.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ
mn
Ñ âûðàæåíèå (31.2) ïîäñòàâèì â
óðàâíåíèå (31.1). Çàòåì óìíîæèì îáå ñòîðîíû ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ íà
)exp( tE
i
u
mm
h
•
è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåì çíà÷åíèÿì ïåðåìåííûõ, îò
êîòîðûõ çàâèñÿò ýòè ôóíêöèè. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:
∑
∫
⋅=
∂
∂
•
m
kmnkm
m
tCtidVuu
t
tC
i
).()exp(
)(
ωτ
h
(31.3)
ãäå
nmmn
EE
−=
ω
h , à òàêæå ïðèíÿòî âî âíèìàíèå ÷òî
.
ˆ
0
kkk
EH
Ψ=Ψ
 äàëüíåéøåì èìååò ñìûñë ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àè, êîãäà m íå ðàâ-
íî n, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ
∫
=
•
.0
τ
dVuu
nn
 ýòèõ ñëó÷àÿõ â ñóììå (31.3) áóäåò îòñóòñòâîâàòü ÷ëåí ñ
m=n, è çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé (31.3) ïðè íà÷àëü-
íûõ óñëîâèÿõ:
.0)0(,1)0(,)0( nkïðèCnkïðèCÑ
kkknk
≠====
δ
Âîçüìåì â êà÷åñòâå íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ
)(tÑ
k
èõ íà÷àëüíûå
çíà÷åíèÿ:
.)(
0
nkk
tC
δ
=
Ïîäñòàâèì â ïðàâóþ ÷àñòü (31.3), òîãäà ìû ïîëó-
÷èì óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ
:)(
)1(
tÑ
m
ôóíêöèåé:
                                                                  iE m
                                Ψêîí = ∑ C mn (t )um exp( −            t ).
                                          m                        h
             Ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â íåêîòîðîì ñòà-
öèîíàðíîì ñîñòîÿíèè ñ ýíåðãèåé                     Em , áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êâàäðàòîì ìî-
äóëÿ êîýôôèöèåíòà               Cmn (t ) :
                                              Pmn = C mn (t ) .
                                                             2



              Pmn îäíîâðåìåííî îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ñèñòåìû çà âðå-
ìÿ T èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ n êîíå÷íîå m.
             Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ñ mn âûðàæåíèå (31.2) ïîäñòàâèì â
óðàâíåíèå (31.1). Çàòåì óìíîæèì îáå ñòîðîíû ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ íà
  •    i
um exp( E m t ) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåì çíà÷åíèÿì ïåðåìåííûõ, îò
       h
êîòîðûõ çàâèñÿò ýòè ôóíêöèè. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:
                    ∂C m (t )
                              = ∑ ∫ um Vu k dτ ⋅ exp(iω mn t )C k (t ).
                                      •
               ih                                                                            (31.3)
                      ∂t        m

ãäå          hω mn = Em − E n , à òàêæå ïðèíÿòî âî âíèìàíèå ÷òî
                             Hˆ 0 Ψk = E k Ψk .
      äàëüíåéøåì èìååò ñìûñë ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àè, êîãäà m íå ðàâ-
íî n, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà âîçìóùåíèÿ

∫u
         •
     n   Vun dτ = 0.  ýòèõ ñëó÷àÿõ â ñóììå (31.3) áóäåò îòñóòñòâîâàòü ÷ëåí ñ
m=n, è çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé (31.3) ïðè íà÷àëü-
íûõ óñëîâèÿõ:
              Ñk (0) = δ kn , Ck (0) = 1 ïðè k = n,               C k (0) = 0 ïðè k ≠ n.
             Âîçüìåì â êà÷åñòâå íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ Ñ k (t ) èõ íà÷àëüíûå

çíà÷åíèÿ: Ck (t ) = δ nk . Ïîäñòàâèì â ïðàâóþ ÷àñòü (31.3), òîãäà ìû ïîëó-
                        0



÷èì óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ Ñ m
                                                                              (1)
                                                                                    (t ) :
                                                    107

Страницы