Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

109
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
•
=ωτωω=τ=
dduxVxutidxutxVxutV
nmnmmn
),()()exp()(),()()(
=
∫
∞
∞−
−
,)()exp(
ωωω
dVti
mn
ãäå −)(
ω
mn
V
ìàòðè÷íûé ýëåìåíò êîìïîíåíòû Ôóðüå.
Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ôóðüå, èìååì:
∫
=
.)exp()(
2
1
)( dttitVV
mnmn
ω
π
ω
Ñðàâíèâàÿ ñ ôîðìóëîé (32.1), ïîëó÷àåì:
).(
2
)(
)1(
mnmnm
V
i
t
Ñ
ω
π
h
=
Òîãäà âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ n â ñîñòîÿíèå m ,áóäåò
ðàâíà:
.)(
4
2
2
2
mnmnmn
VP
ω
π
h
=
(32.2)
Ýòà ôîðìóëà ñîäåðæèò âàæíûé ðåçóëüòàò. Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà
îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà
0
)
(
≠
mnmn
V
ω
, ò.å. ïåðåõîä ñ óðîâíÿ
n
E
íà óðîâåíü
m
E
âîçìîæåí ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà â ñïåêòðå âîçìó-
ùåíèÿ ñîäåðæèòñÿ ÷àñòîòà
,
h
nm
mn
EE
−
=
ω
ïåðåõîä íîñèò ðåçîíàíñíûé
õàðàêòåð, âûïîëíÿåòñÿ ïðàâèëî ÷àñòîò Áîðà. Çàìåòèì, ÷òî â ðàìêàõ íåðå-
ëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñïîíòàííîå èçëó÷åíèå íåâîçìîæíî, òàê
êàê â îòñóòñòâèå âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ àòîì ñêîëü óãîäíî äîëãî äîëæåí
íàõîäèòñÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè, â ñîñòîÿíèè ñ îïðåäåëåííûì çíà÷å-
íèåì ýíåðãèè. Îäíàêî îïûò ãîâîðèò î äðóãîì. Äåëî â òîì, ÷òî ìû ñóùå-
ñòâåííî óïðîñòèëè çàäà÷ó î äâèæåíèè ýëåêòðîíà â ïîëå ÿäðà è íå ó÷ëè
ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå äâèæóùèìñÿ ýëåêòðîíîì è äåéñòâó-
þùèì íà íåãî ñàìîãî. Îáúÿñíåíèå ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ îòíîñèòñÿ ê
îáëàñòè êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, à â ðàìêàõ íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàí-
                                                    ∞             ∞
  Vmn (t ) = ∫ um • ( x )V ( x , t )un ( x )dτ =    ∫   exp(iωt ) ∫ um ( x )V ( x , ω)un dτdω =
                                                   −∞             −∞

                                  ∞

                              =   ∫ exp( −iωt )V
                                  −∞
                                                         mn   (ω )dω ,

ãäå   Vmn (ω ) − ìàòðè÷íûé ýëåìåíò êîìïîíåíòû Ôóðüå.
        Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ôóðüå, èìååì:
                                              1
                                             2π ∫
                        Vmn (ω ) =                Vmn (t ) exp(iωt )dt.
       Ñðàâíèâàÿ ñ ôîðìóëîé (32.1), ïîëó÷àåì:
                                                  2π
                                Ñ m (t ) =           Vmn (ω mn ).
                                       (1)

                                                  ih
    Òîãäà âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ n â ñîñòîÿíèå m ,áóäåò
ðàâíà:

                                   4π 2
                          Pmn =         Vmn (ω mn ) .
                                                   2
                                                                                        (32.2)
                                    h 2

       Ýòà ôîðìóëà ñîäåðæèò âàæíûé ðåçóëüòàò. Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà
îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà Vmn (ω mn )                    ≠ 0 , ò.å. ïåðåõîä ñ óðîâíÿ
E n íà óðîâåíü Em âîçìîæåí ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà â ñïåêòðå âîçìó-
                                 E m − En
ùåíèÿ ñîäåðæèòñÿ ÷àñòîòà ω mn =           , ïåðåõîä íîñèò ðåçîíàíñíûé
                                     h
õàðàêòåð, âûïîëíÿåòñÿ ïðàâèëî ÷àñòîò Áîðà. Çàìåòèì, ÷òî â ðàìêàõ íåðå-
ëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñïîíòàííîå èçëó÷åíèå íåâîçìîæíî, òàê
êàê â îòñóòñòâèå âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ àòîì ñêîëü óãîäíî äîëãî äîëæåí
íàõîäèòñÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè, â ñîñòîÿíèè ñ îïðåäåëåííûì çíà÷å-
íèåì ýíåðãèè. Îäíàêî îïûò ãîâîðèò î äðóãîì. Äåëî â òîì, ÷òî ìû ñóùå-
ñòâåííî óïðîñòèëè çàäà÷ó î äâèæåíèè ýëåêòðîíà â ïîëå ÿäðà è íå ó÷ëè
ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå äâèæóùèìñÿ ýëåêòðîíîì è äåéñòâó-
þùèì íà íåãî ñàìîãî. Îáúÿñíåíèå ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ îòíîñèòñÿ ê
îáëàñòè êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, à â ðàìêàõ íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàí-


                                                  109

Страницы