Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

117
.
0
tCosEE
ω
rr
=
Ýòî ïîëå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âîçìóùåíèå. Ýíåðãèÿ âîçìóùå-
íèÿ åñòü:
.)(
0
tCosrEeV
ω
r
r
−=
Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà çàïèøåòñÿ òàê:
,)
ˆˆ
(
0
Ψ+=
∂
Ψ∂
VH
t
ih
ãäå
0
ˆ
H
- íåâîçìóùåííûé ãàìèëüòîíèàí, ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè êî-
òîðîãî ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè
,
0
n
Ψ
à
−
0
n
E
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà
.
ˆ
0
H
Ïóñòü äî ìîìåíòà t=0, êîãäà íà àòîì ñòàëà äåéñòâîâàòü ñâåòîâàÿ
âîëíà, îí íàõîäèëñÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè
( )
.
0
r
n
Ψ
Áóäåì èñêàòü ðå-
øåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà â âèäå:
( ) ( ) ( )
()
()
()
,,
0
ti
n
ti
n
ti
nn
nnn
ererfertr
ω+ω−ω−ω−ω−
ϕ++Ψ=Ψ
ãäå
.
0
h
n
n
E
=
ω
Ôóíêöèè
nn
è
f
ϕ
c÷èòàþòñÿ âåëè÷èíàìè òîãî æå ïîðÿäêà ìàëîñòè,
÷òî è âîçìóùåíèå. Ïîäñòàâèì
( )
tr,Ψ
â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà è îãðàíè-
÷èìñÿ ÷ëåíàìè ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
()
[ ]
()
[ ]
=−++−−
−
nn
ti
nn
ti
HefHe
ϕωωωω
ωω
00
ˆˆ
hh
=
()
()
.
2
0
0
r
ee
rEe
n
titi
Ψ
+
−
ω−ω
r
r
Ïðèðàâíèâàÿ ìåæäó ñîáîé ÷ëåíû ïðè îäèíàêîâûõ ýêñïîíåíòàõ, ïî-
ëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé
:
nn
è
f
ϕ
()
[]
()
()
,
2
1
ˆ
0
0
0
rrEefH
nnn
Ψ−=−ω−ω
r
r
h
()
[]
()
()
.
2
1
ˆ
0
0
0
rrEeH
nnn
Ψ−=ϕ−ω+ω
r
r
h
                            r r
                            E = E 0 Cosωt.
      Ýòî ïîëå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âîçìóùåíèå. Ýíåðãèÿ âîçìóùå-
íèÿ åñòü:
                                 r r
                         V = −e( E 0 r )Cosω t.
      Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà çàïèøåòñÿ òàê:
                                             ∂Ψ
                                        ih       = ( Hˆ 0 + Vˆ )Ψ,
                                              ∂t
ãäå Ĥ 0 - íåâîçìóùåííûé ãàìèëüòîíèàí, ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè êî-
òîðîãî ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè Ψn0 , à E n0 − ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà

Hˆ 0 .
         Ïóñòü äî ìîìåíòà t=0, êîãäà íà àòîì ñòàëà äåéñòâîâàòü ñâåòîâàÿ

âîëíà, îí íàõîäèëñÿ â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè                                   ()
                                                                          Ψn0 r . Áóäåì èñêàòü ðå-
øåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà â âèäå:
                      ( )          ()                  ()                 ()
               Ψn r , t = Ψn0 r e −iωnt + f n r e −i (ωn −ω)t + ϕ n r e −i (ωn +ω)t ,


             E n0
ãäå ω n =         .
              h
         Ôóíêöèè f n è ϕ n c÷èòàþòñÿ âåëè÷èíàìè òîãî æå ïîðÿäêà ìàëîñòè,

                                                   ( )
÷òî è âîçìóùåíèå. Ïîäñòàâèì Ψ r, t â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà è îãðàíè-
÷èìñÿ ÷ëåíàìè ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
                      [                        ]             [
                e iωt h (ω n − ω ) − Hˆ 0 f n + e −iωt h (ω n + ω ) − Hˆ 0 ϕ n =]
                              r r e i ωt + e − i ω t 0
                        = − e E0 r       ( )
                                         2
                                                    Ψn r .           ()
         Ïðèðàâíèâàÿ ìåæäó ñîáîé ÷ëåíû ïðè îäèíàêîâûõ ýêñïîíåíòàõ, ïî-
ëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé f n è ϕ n :

                            [h(ω   n               ] 1 r r
                                                                 ( ) ()
                                  − ω) − Hˆ 0 f n = − e E0 r Ψn0 r ,
                                                     2

                            [                      ] 1 r r
                                                                 ( ) ()
                            h (ωn + ω) − Hˆ 0 ϕ n = − e E0 r Ψn0 r .
                                                     2
                                                       117

Страницы