Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

21
() ()
==
∫
+
−
−−−
dkAee
o
o
oo
k
k
xkkiti
α
α
ωω
Âûáåðåì íàñòîëüêî óçêèé èíòåðâàë èçìåíåíèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà, ÷òî-
áû ñ÷èòàòü àìïëèòóäó À ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé è âûíåñåì å¸ èç ïîä çíàêà
èíòåãðàëà:
()
()
[]
∫
−=
α+
α−
ω−ω−
o
o
o
k
k
o
ti
dkxkkiAeB
exp
Êàê áûëî ïîêàçàíî ðàíåå, âîëíîâîé ïàêåò ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ
êàê àíàëîã ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû òîëüêî â ïðîäîëæåíèè áåñêîíå÷íî ìà-
ëîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, òàê êàê â ðåçóëüòàòå äèñïåðñèè âîëíîâîé ïà-
êåò ðàçìûâàåòñÿ. ×åì óæå âîëíîâîé ïàêåò, ÷åì áîëüøå åãî àìïëèòóäà, òåì
ëó÷øå âîëíîâîé ïàêåò ìîæåò áûòü ñîïîñòàâëåí ÷àñòèöå. Ïîñëåäíÿÿ ôîð-
ìóëà ïîêàçûâàåò, ÷òî àìïëèòóäà áóäåò òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå ñòîÿùèé â
ôîðìóëå èíòåãðàë:
()
[]
Jdkxkki
o
o
k
k
o
=−
∫
+
−
α
α
Ïîäñ÷èòàåì çíà÷åíèå ýòîãî èíòåãðàëà, ïåðåéäåì ê äðóãèì ïåðåìåí-
íûì:
,
xx
kp
h=
,
0
o
kp
h=
hhh
x
x
o
o
x
x
dp
dk
p
k
p
k
===
,,
,
òîãäà çíà÷åíèå àìïëèòóäû âîëíîâîãî ïàêåòà îïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëü-
íî èíòåãðàëîì
h
h
h
hh
hh
x
p
p
p
p
x
pp
i
dp
eJ
o
o
ox
∫
=
∆
+
∆
−
−
/
Ñäåëàåì íîâóþ çàìåíó
2
x
x
∆
⇒
, âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà äëÿ
êîìïëåêñíîé âåëè÷èíû
αα
α
sincos i
i
e
+
=
, òîãäà çíà÷åíèå èíòåãðàëà J
ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                                              k o +α
                              −i (ω −ω o )t               i (k − k o )x
                         =e                       ∫ Ae
                                              ko −α
                                                                          dk =

     Âûáåðåì íàñòîëüêî óçêèé èíòåðâàë èçìåíåíèÿ âîëíîâîãî ÷èñëà, ÷òî-
áû ñ÷èòàòü àìïëèòóäó À ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé è âûíåñåì å¸ èç ïîä çíàêà
èíòåãðàëà:
                                                  ko +α
                       B = Ae − i (ω − ωo )t ∫ exp[i (k − ko )x ]dk
                                                  ko −α

      Êàê áûëî ïîêàçàíî ðàíåå, âîëíîâîé ïàêåò ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ
êàê àíàëîã ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû òîëüêî â ïðîäîëæåíèè áåñêîíå÷íî ìà-
ëîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, òàê êàê â ðåçóëüòàòå äèñïåðñèè âîëíîâîé ïà-
êåò ðàçìûâàåòñÿ. ×åì óæå âîëíîâîé ïàêåò, ÷åì áîëüøå åãî àìïëèòóäà, òåì
ëó÷øå âîëíîâîé ïàêåò ìîæåò áûòü ñîïîñòàâëåí ÷àñòèöå. Ïîñëåäíÿÿ ôîð-
ìóëà ïîêàçûâàåò, ÷òî àìïëèòóäà áóäåò òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå ñòîÿùèé â
ôîðìóëå èíòåãðàë:
                              ko +α

                                ∫ [i(k − k )x]dk = J
                              k o −α
                                                   o


       Ïîäñ÷èòàåì çíà÷åíèå ýòîãî èíòåãðàëà, ïåðåéäåì ê äðóãèì ïåðåìåí-
íûì:
                                                        px        p          dp
             p x = hk x , p0 = hk o , k x =                , k o = o , dk x = x ,
                                                        h          h          h
òîãäà çíà÷åíèå àìïëèòóäû âîëíîâîãî ïàêåòà îïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëü-
íî èíòåãðàëîì
                                                   ∆p
                                       po / h +              p   p       
                                                   h      i  x − o       x   dp x
                                                              h   h       
                                J=            ∫         e
                                         po ∆p                                    h
                                           −
                                         h   h

                                          ∆x
       Ñäåëàåì íîâóþ çàìåíó x ⇒              , âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà äëÿ
                                          2
êîìïëåêñíîé âåëè÷èíû e iα = cos α + i sin α , òîãäà çíà÷åíèå èíòåãðàëà J
ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:



                                                   21

Страницы