Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

29
L
ˆ
èìååòñÿ ïîëíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé (ñèñòåìà ôóíêöèé íàçû-
âàåòñÿ ïîëíîé, åñëè â íåå âõîäÿò âñå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè äàííîãî îïåðà-
òîðà). Òðåòèé ïîñòóëàò óòâåðæäàåò, ÷òî ôóíêöèþ
Ψ
ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå ðÿäà ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðà
L
ˆ
â ñëåäóþùåì âèäå:
.
∑
=Ψ
nn
uC
(7.2)
Êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ èìååò ñëåäóþùèé ñìûñë: êâàäðàò ìîäóëÿ
êîýôôèöèåíòà
2
n
C
îïðåäåëÿåò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ñèñ-
òåìû (÷àñòèöû) â n-ñîñòîÿíèè. Äàäèì ðåöåïò íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåí-
òîâ
n
C
. Äîìíîæèì ôîðìóëó (7.2) íà ôóíêöèþ
m
u
∗
, êîìïëåêñíî ñîïðÿ-
æåííóþ ôóíêöèè
m
u
:
.
n
m
n
nn
mm
uuCuCuu
∗∗∗
∑∑
==Ψ
Ïðîèíòåãðèðóåì ýòî ðàâåíñòâî ïî âñåé îáëàñòè çàäàíèÿ ïåðåìåí-
íûõ, îò êîòîðûõ çàâèñèò ôóíêöèè
n
u
:
.
*
ττ
duuCdu
n
m
nm
∗
∫
∑
∫
=Ψ
 ñèëó íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèé ñóììèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ,
ïîìåíÿåì ïîðÿäîê ýòèõ äåéñòâèé ñïðàâà, è ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò
n
C
âûíåñåì çà çíàê èíòåãðàëà:
ττ
duuCdu
n
m
nm
∫
∑
∫
∗
=Ψ
*
.
Íî ôóíêöèè
n
u
ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà, êîòî-
ðûé ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîé õàðàêòåðèñòèêå ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòèöû
èëè ñèñòåìû, îáëàäàþò ñâîéñòâîì îðòîíîðìèðîâàííîñòè, åãî ìàòåìàòè-
÷åñêàÿ çàïèñü òàêîâà:
=
∫
∗
,1
,O
duu
n
m
τ
åñëè
nm
nm
=
≠
.
Òàêèì îáðàçîì, ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî çàïèøåòñÿ òàê:
.
τ
duC
m
m
Ψ=
∫
∗
(7.3)
L̂ èìååòñÿ ïîëíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé (ñèñòåìà ôóíêöèé íàçû-
âàåòñÿ ïîëíîé, åñëè â íåå âõîäÿò âñå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè äàííîãî îïåðà-
òîðà). Òðåòèé ïîñòóëàò óòâåðæäàåò, ÷òî ôóíêöèþ Ψ ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå ðÿäà ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðà                            L̂ â ñëåäóþùåì âèäå:
                                  Ψ = ∑ Cn u n .                                      (7.2)
       Êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ èìååò ñëåäóþùèé ñìûñë: êâàäðàò ìîäóëÿ
                     2
êîýôôèöèåíòà Cn          îïðåäåëÿåò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ñèñ-
òåìû (÷àñòèöû) â n-ñîñòîÿíèè. Äàäèì “ðåöåïò” íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåí-
òîâ   Cn . Äîìíîæèì ôîðìóëó (7.2) íà ôóíêöèþ u ∗ m , êîìïëåêñíî ñîïðÿ-
æåííóþ ôóíêöèè      um :
                    u ∗ m Ψ = u ∗ m ∑ Cn u n = ∑ C n u ∗ m u n .
       Ïðîèíòåãðèðóåì ýòî ðàâåíñòâî ïî âñåé îáëàñòè çàäàíèÿ ïåðåìåí-
íûõ, îò êîòîðûõ çàâèñèò ôóíêöèè                    un :

                           ∫u
                                      *
                                      m   Ψdτ = ∫ ∑ C n u ∗ m u n dτ .
       Â ñèëó íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèé ñóììèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ,
ïîìåíÿåì ïîðÿäîê ýòèõ äåéñòâèé ñïðàâà, è ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò                               Cn
âûíåñåì çà çíàê èíòåãðàëà:

                         ∫u
                              *
                              m   Ψ dτ = ∑ C n ∫ u ∗ u n dτ .
                                                    m

       Íî ôóíêöèè   u n ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà, êîòî-
ðûé ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîé õàðàêòåðèñòèêå ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòèöû
èëè ñèñòåìû, îáëàäàþò ñâîéñòâîì îðòîíîðìèðîâàííîñòè, åãî ìàòåìàòè-
÷åñêàÿ çàïèñü òàêîâà:
                                                O,               m≠n
                         ∫u
                              ∗
                                  m   u n dτ =     åñëè              .
                                                1,               m=n
       Òàêèì îáðàçîì, ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî çàïèøåòñÿ òàê:

                     C m = ∫ u ∗ m Ψ dτ .                                            (7.3)


                                                    29

Страницы