Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 31 стр.

     2. Îïåðàòîð ïðîåêöèè èìïóëüñà.
     Äëÿ íàõîæäåíèÿ èñêîìîãî îïåðàòîðà ñîñòàâèì îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå:
                           Pˆxψ = Pxψ .                           (*)
ïðè ýòîì ìû èñïîëüçîâàëè îñíîâíîå ñâîéñòâî ýðìèòîâîãî îïåðàòîðà - ïå-
ðåâîäèòü ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ â íåå æå ñàìó ïðè óìíîæåíèè íà íåêîòî-
ðûé ìíîæèòåëü, íàçûâàåìûé ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà.
     Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïóñòü ôóíê-
öèÿ ψ ÿâëÿåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé äå-Áðîéëÿ, êîòîðàÿ îïèñûâàåò äâè-
æåíèå ñâîáîäíîé ÷àñòèöû:
                             ψ = Ae −i (ωt −kx ) .
     Ïðåîáðàçóåì ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ äå-Áðîéëÿ:
                        E = hν = hω è p x = hk ,
òîãäà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ    ψ ïðèìåò âèä:
                                          i
                                      −       (Et − p x )
                        ψ = Ae h
                                   x
                                     .
     Îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå áóäåò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè äëÿ îïåðàòîðà
                              ∂
P̂x âçÿòü âûðàæåíèå Pˆx = −ih ∂x . Óáåäèìñÿ â ýòîì. Ñîñòàâèì ëåâóþ ñòîðî-
íó îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ (*):

                     ∂         ∂       i             
           ψ = −ih      ψ = −ih  A exp− (Et − p x x ) =
                     ∂x        ∂x      h             
                                    i             i          .
                        = −ihA exp − (Et − p x x ) p x = Pxψ
                                    h             h
     Íî ýòî è åñòü ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (*). Ìû ïîëó÷èëè òîæäåñòâåí-
íîå âûðàæåíèå, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî îïåðàòîð                    P̂x èìååò âûðàæåíèå
         ∂
Pˆx = −ih . Îáîáùèì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòîò
         ∂x
îïåðàòîð èìååò âñåãäà òàêîé âèä, à íå òîëüêî äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû.
Àíàëîãè÷íî ïîñòðîèì ïðîåêöèè îïåðàòîðà èìïóëüñà íà îñè Îó è Îz:
                       )       ∂                         ∂
                       Py = −ih è               Pˆx = −ih .
                               ∂y                        ∂z


                                      31