Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

33
æèâ îáå åãî ñòîðîíû íà íåêîòîðóþ ôóíêöèþ
Ψ
ñïðàâà:
[ ]
()
.
Ψ−=Ψ
xPPxPx
xxx
)))
Äàëåå ñîñòàâèì êàæäûé ÷ëåí ñïðàâà, èñïîëüçóÿ ÿâíûé âèä îïåðàòî-
ðà ïðîåêöèè èìïóëüñà: -
()
Ψ=
∂
∂
Ψ−Ψ
∂
∂
−Ψ
∂
∂
−=
Ψ
∂
∂
−Ψ
∂
∂
hhh i
x
x
x
x
x
xix
xx
xi
.
Ñðàâíèâàÿ ñ ëåâîé ñòîðîíîé èñõîäíîãî îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ,
ïîëó÷àåì, ÷òî êîììóòàòîð îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è ñîîòâåòñòâóþùåé
ïðîåêöèè èìïóëüñà íå ðàâåí íóëþ. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå
ýòèì îïåðàòîðàì ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû íå ìîãóò èìåòü îäíîâðåìåííî òî÷-
íûõ çíà÷åíèé. Ìû ïîëó÷èëè íîâóþ ôîðìóëèðîâêó äëÿ ñîîòíîøåíèÿ íåî-
ïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà: åñëè êîììóòàòîð îïåðàòîðîâ äâóõ ôèçè÷åñ-
êèõ âåëè÷èí íå ðàâåí íóëþ (îïåðàòîðû íå êîììóòèðóþò), òî ñîîòâåòñòâó-
þùèå ýòèì îïåðàòîðàì ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû â
îäíîì îïûòå îäíîâðåìåííî òî÷íî, äëÿ ýòèõ âåëè÷èí ìîæíî ñîñòàâèòü ñî-
îòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà.
Ëåãêî ïîêàçàòü, ïðîèçâîäÿ äåéñòâèÿ, ïîäîáíûå òîëüêî-÷òî ïðîèçâå-
äåííûì âûøå, ÷òî êîììóòàòîð
[ ]
y
Px
)
ðàâåí íóëþ. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïå-
ðàòîðû
x
è
y
P
)
êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ôèçè÷åñ-
êèå âåëè÷èíû, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ýòè îïåðàòîðû, ìîãóò áûòü èçìåðå-
íû òî÷íî â îäíîì îïûòå.
4. Îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà
 êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå âàæíóþ ðîëü âûïîëíÿåò ôóíêöèÿ Ãàìèëü-
òîíà, êîòîðàÿ â ñëó÷àå êîíñåðâàòèâíûõ âíåøíèõ ïîëåé ñîâïàäàåò ñ ïîë-
íîé ýíåðãèåé ñèñòåìû èëè ÷àñòèöû:
()
.,,
2
2
zyxU
m
p
EEH
pk
+=+=
Âîñïîëüçóåìñÿ ñôîðìóëèðîâàííûì âûøå ðåöåïòîì äëÿ ñî-
ñòàâëåíèÿ îïåðàòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà,
îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî â âûðàæåíèè ôóíê-
öèè Ãàìèëüòîíà çàìåíèòü äèíàìè÷åñêèå ïåðåìåííûå-êîîðäèíàòû è
èìïóëüñû- èõ îïåðàòîðàìè:
æèâ îáå åãî ñòîðîíû íà íåêîòîðóþ ôóíêöèþ Ψ ñïðàâà:

                        [ ] (
                          )       )    )
                         xPx Ψ = xPx − Px x Ψ. )
     Äàëåå ñîñòàâèì êàæäûé ÷ëåí ñïðàâà, èñïîëüçóÿ ÿâíûé âèä îïåðàòî-
ðà ïðîåêöèè èìïóëüñà:      -
          ∂    ∂            ∂      ∂     ∂x 
      ih  x Ψ − (xΨ ) = −ih x Ψ − x Ψ − Ψ  = ihΨ .
          ∂x   ∂x           ∂x     ∂x    ∂x 

     Ñðàâíèâàÿ ñ ëåâîé ñòîðîíîé èñõîäíîãî îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ,
ïîëó÷àåì, ÷òî êîììóòàòîð îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è ñîîòâåòñòâóþùåé
ïðîåêöèè èìïóëüñà íå ðàâåí íóëþ. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå
ýòèì îïåðàòîðàì ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû íå ìîãóò èìåòü îäíîâðåìåííî òî÷-
íûõ çíà÷åíèé. Ìû ïîëó÷èëè íîâóþ ôîðìóëèðîâêó äëÿ ñîîòíîøåíèÿ íåî-
ïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà: åñëè êîììóòàòîð îïåðàòîðîâ äâóõ ôèçè÷åñ-
êèõ âåëè÷èí íå ðàâåí íóëþ (îïåðàòîðû íå êîììóòèðóþò), òî ñîîòâåòñòâó-
þùèå ýòèì îïåðàòîðàì ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû â
îäíîì îïûòå îäíîâðåìåííî òî÷íî, äëÿ ýòèõ âåëè÷èí ìîæíî ñîñòàâèòü ñî-
îòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà.
     Ëåãêî ïîêàçàòü, ïðîèçâîäÿ äåéñòâèÿ, ïîäîáíûå òîëüêî-÷òî ïðîèçâå-
                              [ )]
äåííûì âûøå, ÷òî êîììóòàòîð xPy ðàâåí íóëþ. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïå-
             )
ðàòîðû   x è Py êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ôèçè÷åñ-
êèå âåëè÷èíû, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ýòè îïåðàòîðû, ìîãóò áûòü èçìåðå-
íû òî÷íî â îäíîì îïûòå.
      4. Îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà
       êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå âàæíóþ ðîëü âûïîëíÿåò ôóíêöèÿ Ãàìèëü-
òîíà, êîòîðàÿ â ñëó÷àå êîíñåðâàòèâíûõ âíåøíèõ ïîëåé ñîâïàäàåò ñ ïîë-
íîé ýíåðãèåé ñèñòåìû èëè ÷àñòèöû:
                                      p2
                     H = Ek + E p =      + U (x, y, z).
                                      2m
    Âîñïîëüçóåìñÿ ñôîðìóëèðîâàííûì âûøå “ðåöåïòîì” äëÿ ñî-
ñòàâëåíèÿ îïåðàòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà,
îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî â âûðàæåíèè ôóíê-
öèè Ãàìèëüòîíà çàìåíèòü äèíàìè÷åñêèå ïåðåìåííûå-êîîðäèíàòû è
èìïóëüñû- èõ îïåðàòîðàìè:


                                  33

Страницы