Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

34
()
() ()
,,,
2
,,
2
2
2
zyxU
m
zyxU
m
i
H
+∆−=+
∇−
=
hh
)
ãäå
2
∇=∆
è
()()
.
2
hhh
−=−−
ii
Äëÿ ïðèìåðà ñîñòàâèì îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå äëÿ îïåðàòîðà Ãà-
ìèëüòîíà:
,Ψ=Ψ EH
)
èëè, ïîäñòàâëÿÿ ÿâíûé âèä îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà, ïîëó÷àåì:
.
2
2
Ψ=Ψ+∆Ψ− EU
m
h
Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãå-
ðà. Êîîðäèíàòíûì îíî íàçûâàåòñÿ ïîòîìó,÷òî â íåãî íå âõîäèò çàâèñè-
ìîñòü îò âðåìåíè â îïåðàòîðíûõ äåéñòâèÿõ. Òàê êàê â óðàâíåíèå âõîäèò
ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ
()
zyxU,,
, èìåþùàÿ êîíêðåòíûé âèä â êàæäîé
çàäà÷å, òî êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà íåîáõîäèìî ðåøàòü
êàæäûé ðàç ñàìîñòîÿòåëüíî, åñëè èçìåíÿåòñÿ âèä ïîòåíöèàëüíîé ôóíê-
öèè. Ïîñêîëüêó ðåøåíèå óðàâíåíèÿ íå çàâèñèò îò âðåìåíè, ýòî êîîðäè-
íàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèìåíÿåòñÿ ïðè ðåøåíèè ñòàöèîíàðíûõ
çàäà÷. Ñîîòâåòñòâåííî è óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì óðàâíå-
íèåì Øðåäèíãåðà.
5. Îïåðàòîð ïîëíîé ýíåðãèè
Ïðè ðàññìîòðåíèè íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ íåîáõîäèìî ðåøàòü
îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå ÿâíóþ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè â ñà-
ìîì îïåðàòîðå, âõîäÿùåì â ýòî óðàâíåíèå. Îáîçíà÷èì îáùåå âûðàæåíèå
äëÿ ýòîãî îïåðàòîðà òàê:
E
)
. Òàê êàê áóêâîé
E
ìû îáîçíà÷àåì ýíåðãèþ
ñèñòåìû èëè ÷àñòèöû, òî îïåðàòîð
E
)
áóäåì íàçûâàòü îïåðàòîðîì ýíåð-
ãèè, òî÷íåå îïåðàòîðîì ïîëíîé ýíåðãèè.
Ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ ñ îïåðàòîðîì ïîë-
íîé ýíåðãèè òàêîâà:
.Ψ=Ψ EE
)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ÿâíîãî âèäà îïåðàòîðà ïîëíîé ýíåðãèè ïðèìåíèì
òîò æå ìåòîä, ÷òî è ïðè íàõîæäåíèè ÿâíîãî âèäà îïåðàòîðà ïðîåêöèè èì-
ïóëüñà (ñì. ï.2).  êà÷åñòâå ïðîáíîé ôóíêöèè
Ψ
âîçüìåì âîëíîâóþ ôóí-
êöèþ äå-Áðîéëÿ:
                ) (− ih∇)2                   h2
                H=         + U (x, y, z) = −    ∆ + U (x, y, z),
                     2m                      2m
ãäå ∆ = ∇ 2 è   (− ih )(− ih ) = −h 2 .
     Äëÿ ïðèìåðà ñîñòàâèì îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå äëÿ îïåðàòîðà Ãà-
ìèëüòîíà:
                                   )
                                   HΨ = EΨ,
èëè, ïîäñòàâëÿÿ ÿâíûé âèä îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà, ïîëó÷àåì:


                               h2
                           −      ∆Ψ + UΨ = EΨ.
                               2m

      Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãå-
ðà. Êîîðäèíàòíûì îíî íàçûâàåòñÿ ïîòîìó,÷òî â íåãî íå âõîäèò çàâèñè-
ìîñòü îò âðåìåíè â îïåðàòîðíûõ äåéñòâèÿõ. Òàê êàê â óðàâíåíèå âõîäèò
ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ U (x, y, z ) , èìåþùàÿ êîíêðåòíûé âèä â êàæäîé
çàäà÷å, òî êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà íåîáõîäèìî ðåøàòü
êàæäûé ðàç ñàìîñòîÿòåëüíî, åñëè èçìåíÿåòñÿ âèä ïîòåíöèàëüíîé ôóíê-
öèè. Ïîñêîëüêó ðåøåíèå óðàâíåíèÿ íå çàâèñèò îò âðåìåíè, ýòî êîîðäè-
íàòíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèìåíÿåòñÿ ïðè ðåøåíèè ñòàöèîíàðíûõ
çàäà÷. Ñîîòâåòñòâåííî è óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì óðàâíå-
íèåì Øðåäèíãåðà.
      5. Îïåðàòîð ïîëíîé ýíåðãèè
        Ïðè ðàññìîòðåíèè íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ íåîáõîäèìî ðåøàòü
îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå ÿâíóþ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè â ñà-
ìîì îïåðàòîðå, âõîäÿùåì â ýòî óðàâíåíèå. Îáîçíà÷èì îáùåå âûðàæåíèå
                            )
äëÿ ýòîãî îïåðàòîðà òàê: E . Òàê êàê áóêâîé E ìû îáîçíà÷àåì ýíåðãèþ
                                     )
ñèñòåìû èëè ÷àñòèöû, òî îïåðàòîð E áóäåì íàçûâàòü îïåðàòîðîì ýíåð-
ãèè, òî÷íåå îïåðàòîðîì ïîëíîé ýíåðãèè.
      Ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ ñ îïåðàòîðîì ïîë-
íîé ýíåðãèè òàêîâà:
                                 )
                                 EΨ = EΨ.
      Äëÿ íàõîæäåíèÿ ÿâíîãî âèäà îïåðàòîðà ïîëíîé ýíåðãèè ïðèìåíèì
òîò æå ìåòîä, ÷òî è ïðè íàõîæäåíèè ÿâíîãî âèäà îïåðàòîðà ïðîåêöèè èì-
ïóëüñà (ñì. ï.2).  êà÷åñòâå ïðîáíîé ôóíêöèè Ψ âîçüìåì âîëíîâóþ ôóí-
êöèþ äå-Áðîéëÿ:
                                          34

Страницы