Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

35
()
()
.,
kxt
Aetx
−−
=Ψ
ω
Äëÿ óïðîùåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ìû ðàññìàòðèâàåì îäíîìåðíûé ñëó-
÷àé (ò.å. ÿâíî âõîäèò ëèøü îäíà êîîðäèíàòà õ). Ëåãêî óáåäèòñÿ ïðÿìîé
ïîäñòàíîâêîé, ÷òî îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå ïðåâðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî,
åñëè â êà÷åñòâå îïåðàòîðà ïîëíîé ýíåðãèè âçÿòü îïåðàòîð âèäà
t
iE
∂
∂
= h
)
.
Ñðàâíèì óðàâíåíèÿ äëÿ îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà è äëÿ îïåðàòîðà ïîë-
íîé ýíåðãèè:
Ψ=Ψ+∆Ψ− EU
m2
2
h
è
.
Ψ=Ψ
∂
∂
E
t
ih
(9.5.1)
Ñïðàâà ñòîÿò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ Ãàìèëüòîíà è ïîë-
íîé ýíåðãèè (óìíîæåííûå íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ). Íî â êëàññè÷åñêîé ìå-
õàíèêå ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòå-
ìû (èëè ÷àñòèöû). Ïîñêîëüêó ïðàâûå ñòîðîíû ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíå-
íèé ñîâïàäàþò, òî ðàâíû è ëåâûå ñòîðîíû ýòèõ óðàâíåíèé. È ìîæíî íàïè-
ñàòü ñëåäóþùåå îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå:
.
2
2
Ψ+∆Ψ−=Ψ
∂
∂
U
mt
i
h
h
(9.5.2)
Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ïîëíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà, òàê êàê
â íåì ðàññìàòðèàâàþòñÿ äåéñòâèÿ îïåðàòîðîâ, îäèí èç êîòîðûõ äåéñòâóåò
íà âðåìåííóþ, äðóãîé íà êîîðäèíàòíóþ çàâèñèìîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè.
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ìû íå âûâåëè, à ïîñòðîèëè óðàâíåíèå
Øðåäèíãåðà, ïîäîáíî òîìó êàê íå âûâîäÿòñÿ, à ñòðîÿòñÿ óðàâíåíèÿ
Ìàêñâåëëà â òåîðèè ýëåêòðîìàãíåòèçìà, èëè ôîðìóëà 2-ãî çàêîíà Íüþòî-
íà â ìåõàíèêå.
Èòàê, ìû ïîëó÷èëè òðè óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Äëÿ îïðåäåëåííîñ-
òè áóäåì íàçûâàòü ïåðâîå èç óðàâíåíèé êîîðäèíàòíûì óðàâíåíèåì Øðå-
äèíãåðà, âòîðîå èç óðàâíåíèé (9.5.1) - âðåìåííûì, à óðàâíåíèå (9.5.2) -
ïîëíûì óðàâíåàíèåì Øðåäèíãåðà.
                          Ψ (x, t ) = Ae − (ωt − kx ).
      Äëÿ óïðîùåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ìû ðàññìàòðèâàåì îäíîìåðíûé ñëó-
÷àé (ò.å. ÿâíî âõîäèò ëèøü îäíà êîîðäèíàòà õ). Ëåãêî óáåäèòñÿ ïðÿìîé
ïîäñòàíîâêîé, ÷òî îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå ïðåâðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî,
åñëè â êà÷åñòâå îïåðàòîðà ïîëíîé ýíåðãèè âçÿòü îïåðàòîð âèäà

                                 )     ∂
                                 E = ih .
                                       ∂t

     Ñðàâíèì óðàâíåíèÿ äëÿ îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà è äëÿ îïåðàòîðà ïîë-
íîé ýíåðãèè:


                 h2                  ∂
            −       ∆Ψ + UΨ = EΨ è ih Ψ = EΨ.                      (9.5.1)
                 2m                  ∂t

      Ñïðàâà ñòîÿò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðîâ Ãàìèëüòîíà è ïîë-
íîé ýíåðãèè (óìíîæåííûå íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ). Íî â êëàññè÷åñêîé ìå-
õàíèêå ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòå-
ìû (èëè ÷àñòèöû). Ïîñêîëüêó ïðàâûå ñòîðîíû ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíå-
íèé ñîâïàäàþò, òî ðàâíû è ëåâûå ñòîðîíû ýòèõ óðàâíåíèé. È ìîæíî íàïè-
ñàòü ñëåäóþùåå îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå:


                 ∂      h2
            ih      Ψ=−    ∆Ψ + UΨ.                      (9.5.2)
                 ∂t     2m

      Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ïîëíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà, òàê êàê
â íåì ðàññìàòðèàâàþòñÿ äåéñòâèÿ îïåðàòîðîâ, îäèí èç êîòîðûõ äåéñòâóåò
íà âðåìåííóþ, äðóãîé íà êîîðäèíàòíóþ çàâèñèìîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè.
      Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ìû íå âûâåëè, à “ïîñòðîèëè” óðàâíåíèå
Øðåäèíãåðà, ïîäîáíî òîìó êàê íå âûâîäÿòñÿ, à “ñòðîÿòñÿ” óðàâíåíèÿ
Ìàêñâåëëà â òåîðèè ýëåêòðîìàãíåòèçìà, èëè ôîðìóëà 2-ãî çàêîíà Íüþòî-
íà â ìåõàíèêå.
      Èòàê, ìû ïîëó÷èëè òðè óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Äëÿ îïðåäåëåííîñ-
òè áóäåì íàçûâàòü ïåðâîå èç óðàâíåíèé êîîðäèíàòíûì óðàâíåíèåì Øðå-
äèíãåðà, âòîðîå èç óðàâíåíèé (9.5.1) - âðåìåííûì, à óðàâíåíèå (9.5.2) -
ïîëíûì óðàâíåàíèåì Øðåäèíãåðà.

                                      35

Страницы