Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 37 стр.

ïîëíîé (ìåõàíè÷åñêîé) ýíåðãèåé êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû (èëè
÷àñòèöû), ñîñòîÿíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé
Ψ (x, y, z, t). Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (10.4) ðàñïàäàåòñÿ íà äâà äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ:
                          ∂f (t)
                     ih
                            ∂t = E                                  (10.5)
                          f (t)
       è

                          h 2 ∆ϕ (x, y, z)
                     −                     + U (x, y, z) = E .      (10.6)
                          2m ϕ (x, y, z)
     Óðàâíåíèå (10.5) ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ:

                     ∂f (t )    i
                             = − E∂t.                               (10.7)
                      f (t )    h
     Òàê êàê â ýòîì óðàâíåíèè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ëèøü îäíîé
ïåðåìåííîé, òî ñèìâîë äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ∂ ìîæíî çàìåíèòü íà ñèìâîë
d. Èíòåãðèðîâàíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ äàåò ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ:

                                    i
                                − Et
                     f (t ) = Ce h . .                        (10.8)
      Îñîáåííîñòüþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (10.5) - ôóíêöèÿ (10.8)- ÿâëÿåòñÿ
òî, ÷òî îíî ñîõðàíÿåò ñâîé ñìûñë äëÿ ëþáîé êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîé çàäà-
÷è, òàê êàê íå çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Ðàññìîòðèì óðàâ-
íåíèå (10.6), ïðåîáðàçóåì åãî, óìíîæèâ îáå ñòîðîíû íà ôóíêöèþ
ϕ (x, y, z):
                 h2
               −    ∆ϕ ( x, y, z ) + Uϕ (x, y, z) = Eϕ (x, y, z).
                 2m
     Íî ýòî óðàâíåíèå íàì óæå âñòðå÷àëîñü, êîãäà ìû ñîñòàâëÿëè îïåðà-
òîðíîå óðàâíåíèå äëÿ îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà. Ýòî óðàâíåíèå ìû íàçâàëè
êîîðäèíàòíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà è îòìå÷àëè, ÷òî åãî íåîáõîäèìî
ðåøàòü êàæäûé ðàç, åñëè çàäàåòñÿ íîâàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ
U (x, y, z). Íèæå ìû ðåøèì íåñêîëüêî êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ çàäà÷, çà-
äàâàÿ êàæäûé ðàç ÿâíûé âèä ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè.
                                            37