Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 39 стр.

È â êâàíòîâîé ìåõàíèêå çàêîí ïðè÷èííîñòè íå îòìåíÿåòñÿ, à â ñèëó êâàí-
òîâî-ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ ÷àñòèö è ñèñòåì ÷àñòèö èìååò íîâîå, âåðîÿò-
íîñòíîå ïðîÿâëåíèå.

        12. Äèôôåðåíöèðîâàíèå îïåðàòîðîâ ïî âðåìåíè

     Âîñïîëüçóåìñÿ ðàíåå ïîëó÷åííîé ôîðìóëîé äëÿ ðàñ÷åòà ñðåäíåãî
çíà÷åíèÿ ëþáîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, îïðåäåëÿþùåé ñîñòîÿíèå êâàíòî-
âî-ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû:
                            )
                  L = ∫ Ψ * L Ψd τ .                      (12.1)
ãäå èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî êîîðäèíàòàì.
      Òàê êàê âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò âðåìåíè, òî ñëåäóåò
îæèäàòü, ÷òî è ñðåäíåå çíà÷åíèå ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû áóäåò èçìåíÿòüñÿ
âî âðåìåíè. À òàê êàê ñðåäíåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû îïðåäåëÿåòñÿ å¸ îïåðà-
òîðîì, òî è îïåðàòîð ìîæåò èçìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè. Ïåðåä íàìè âîçíèêàåò
çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ äåéñòâèé, äàþùèõ íàì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò
îïåðàòîðà. Ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âîçüìåì îò âûðàæåíèÿ (12.1)
ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè:
                                                     )
      dL d      )         ∂Ψ * )        ) ∂Ψ       ∂L 
        = ∫ Ψ * LΨdτ = ∫       LΨ + Ψ * L     + Ψ*    Ψ dτ . (12.2)
      dt dt               ∂t               ∂t      ∂t 
      Ïðè ñîñòàâëåíèè ýòîãî âûðàæåíèÿ î÷åíü âàæíî ñîáëþäàòü ïîðÿäîê
ìíîæèòåëåé, ïîìíÿ, ÷òî îïåðàòîð äåéñòâóåò íà ôóíêöèþ, êîòîðàÿ ñòîèò
ïîñëå íåãî. Òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñîñòîèò èç òðåõ ìíîæèòå-
ëåé, òî ìû ïîëó÷èëè â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ òðè ñëàãàåìûõ. Ïðîèçâîäÿ äèô-
ôåðåíöèðîâàíèå, ìû ïîìåíÿëè ïîðÿäîê äåéñòâèé, âíåñÿ âçÿòèå ïðîèçâîä-
íîé ïî âðåìåíè ïîä çíàê èíòåãðàëà, òàê êàê èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèò-
ñÿ ïî êîîðäèíàòàì.
      Äëÿ äàëüíåéøåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ (12.2) âîñïîëüçóåìñÿ
ïîëíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà, îäíàêî íå ðàñêðûâàÿ ÿâíûé âèä îïåðà-
òîðà Ãàìèëüòîíà:

               ∂Ψ )               ∂Ψ *   )
            ih     = HΨ è − ih         = HΨ * .                (12.3)
                ∂t                 ∂t
     Âòîðîå óðàâíåíèå â (12.3) - ýòî óðàâíåíèå, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå
èñõîäíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî îïåðà-
òîð Ãàìèëüòîíà âõîäèò áåç ñèìâîëà êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ. Â äàëü-
íåéøåì íàì íå ðàç ïðèäåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî â ñèëó âåùåñòâåííî-
ñòè îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà
                                  39