Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

41
Ïðîäîëæèì ñîñòàâëåíèå
dt
Ld
:
()
()
∫
∫
Ψ
∂
∂
+−Ψ=
=
Ψ
∂
∂
Ψ+ΨΨ−ΨΨ=
.
*
***
τ
τ
d
t
L
HLLH
i
d
t
L
HLLH
i
dt
Ld
)
))))
h
)
))))
h
Ñðàâíèì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ñ ôîðìóëîé äëÿ ðàñ÷åòà ñðåäíåãî
çíà÷åíèÿ ëþáîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû:
∫
ΨΨ=
.
*
τ
dLL
)
(12.8)
Ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ðîëü ïîëíîé ïðîèçâîäíîé îò îïåðàòîðà ïî
âðåìåíè âûïîëíÿåò âåëè÷èíà, ñòîÿùàÿ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ:
()
.HLLH
i
t
L
dt
Ld
))))
h
))
−+
∂
∂
=
(12.9)
Âòîðîé ÷ëåí â ýòîì âûðàæåíèè íîñèò íàçâàíèå êâàíòîâîé ñêîáêè Ïó-
àññîíà. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî êâàíòîâóþ ñêîáêó Ïóàññîíà ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü ââèäå ïðîèçâåäåíèÿ êîììóòàòîðà
[ ]
L
H
HLLH
)
)
))))
=−
íà ìíî-
æèòåëü
.
h
i
13. Èíòåãðàëû äâèæåíèÿ
Êàê â êëàññè÷åñêîé, òàê è â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñóùåñòâóþò èíòåã-
ðàëû äâèæåíèÿ, ò.å. âåëè÷èíû, êîòîðûå íå èçìåíÿþò ñâîåãî çíà÷åíèÿ âî
âðåìåíè. Ïîëó÷èì êðèòåðèè, êîòîðûì äîëæíû ïîä÷èíÿòüñÿ êâàíòîâûå
èíòåãðàëû äâèæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (12.9). Ïóñòü
îïåðàòîð íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû
L
)
íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè.
Òîãäà
0=
∂
∂
t
L
)
è ôîðìóëà (12.9) ïðèíèìàåò âèä:
()
.HLLH
i
dt
Ld
))))
h
)
−=
(13.1)
Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà îïåðàòîð
L
)
êîììóòèðó-
                                    dL
     Ïðîäîëæèì ñîñòàâëåíèå             :
                                    dt
                                                )
                      i * ))          ))           
               dL
                        (
                  = ∫  Ψ HLΨ − Ψ LHΨ + Ψ
                                     *
                                                )
                                             * ∂L
                                                  Ψ  dτ =
                                               ∂t 
               dt     h
                                          )
                           i ) ) ) ) ∂L 
                                (
                  = ∫ Ψ *  HL − LH + Ψdτ .
                                        ∂t 
                                            )
                          h
     Ñðàâíèì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ñ ôîðìóëîé äëÿ ðàñ÷åòà ñðåäíåãî
çíà÷åíèÿ ëþáîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû:
                            )
                  L = ∫ Ψ * L Ψ dτ .                      (12.8)
     Ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ðîëü ïîëíîé ïðîèçâîäíîé îò îïåðàòîðà ïî
âðåìåíè âûïîëíÿåò âåëè÷èíà, ñòîÿùàÿ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ:
                     )    )
                   dL ∂L i ) ) ) )
                       =
                    dt ∂t h
                                    (
                            + HL − LH .         )            (12.9)

     Âòîðîé ÷ëåí â ýòîì âûðàæåíèè íîñèò íàçâàíèå êâàíòîâîé ñêîáêè Ïó-
àññîíà. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî êâàíòîâóþ ñêîáêó Ïóàññîíà ìîæíî
                                               )) ) )    ))
                                                             [ ]
ðàññìàòðèâàòü ââèäå ïðîèçâåäåíèÿ êîììóòàòîðà HL − LH = HL íà ìíî-
         i
æèòåëü     .
         h

                      13. Èíòåãðàëû äâèæåíèÿ

     Êàê â êëàññè÷åñêîé, òàê è â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñóùåñòâóþò èíòåã-
ðàëû äâèæåíèÿ, ò.å. âåëè÷èíû, êîòîðûå íå èçìåíÿþò ñâîåãî çíà÷åíèÿ âî
âðåìåíè. Ïîëó÷èì êðèòåðèè, êîòîðûì äîëæíû ïîä÷èíÿòüñÿ êâàíòîâûå
èíòåãðàëû äâèæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (12.9). Ïóñòü
                                                    )
îïåðàòîð íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû L íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè.
             )
            ∂L
     Òîãäà     = 0 è ôîðìóëà (12.9) ïðèíèìàåò âèä:
            ∂t
                     )
                    dL i ) ) ) )
                            (
                       = HL − LH .
                    dt h
                                        )                 (13.1)
                                                          )
     Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà îïåðàòîð   L êîììóòèðó-
                                        41

Страницы