Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

43
Ñîñòàâèì óðàâíåíèå (12.9) äëÿ îïåðàòîðà êîîðäèíàòû õ è çàòåì
äëÿ îïåðàòîðà ïðîåêöèè èìïóëüñà íà òó æå îñü, ïðè÷åì, áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî ýòè îïåðàòîðû ÿâíî îò âðåìåíè íå çàâèñÿò:
()
HxxH
i
dt
xd
)
))
)
h
)
−=
è
()
.HppH
i
dt
pd
xx
x
)
))
)
h
)
−=
(14.1)
Ôîðìóëû (14.1) íîñÿò íàçâàíèå êâàíòîâûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
Çàéìåìñÿ ðàñêðûòèåì êîììóòàòîðîâ.
()
,
22
22
+∆−−
+∆−=−
U
m
xxU
m
HxxH
hh
))
ãäå îïåðàòîð Ëàïëàñà èìååò îáû÷íûé âèä
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆
,
êðîìå òîãî, îïóùåí çíàê îïåðàòîðà íàä êîîðäèíàòîé.
Åñëè ïðîèçâåñòè âñå äåéñòâèÿ, óêàçàííûå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ,
òî ïîñëå ñîêðàùåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì, ÷òî
()
.
2
xm
HxxH
∂
∂
−=−
h
))
Ñîñòàâèì ïåðâîå óðàâíåíèå Ýðíôåñòà:
.
11
2
p
mx
i
mxm
i
xm
i
dt
xd
)
h
hh
h
)
=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
(14.2)
Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé îò êîîð-
äèíàòû:
      Ñîñòàâèì óðàâíåíèå (12.9) äëÿ îïåðàòîðà êîîðäèíàòû õ è çàòåì
äëÿ îïåðàòîðà ïðîåêöèè èìïóëüñà íà òó æå îñü, ïðè÷åì, áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî ýòè îïåðàòîðû ÿâíî îò âðåìåíè íå çàâèñÿò:
                                )
                               dx i ) ) ) )
                                        (
                                  = Hx − xH
                               dt h
                                                      )
è
                     )
                    dp x i ) )   ) )
                     dt  h
                               (
                        = Hp x − p x H .      )                              (14.1)


    Ôîðìóëû (14.1) íîñÿò íàçâàíèå êâàíòîâûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.
Çàéìåìñÿ ðàñêðûòèåì êîììóòàòîðîâ.




          (H)x − xH) ) =  − 2hm ∆ + U  x − x − 2hm ∆ + U ,
                                   2                       2


                                                                  
ãäå îïåðàòîð Ëàïëàñà èìååò îáû÷íûé âèä
                                   ∂2    ∂2  ∂2
                             ∆=         + 2 + 2 ,
                                   ∂x 2
                                         ∂y  ∂z
êðîìå òîãî, îïóùåí çíàê îïåðàòîðà íàä êîîðäèíàòîé.
      Åñëè ïðîèçâåñòè âñå äåéñòâèÿ, óêàçàííûå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ,
òî ïîñëå ñîêðàùåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì, ÷òî

                            (H)x − xH) ) = − hm ∂∂x .
                                                  2




      Ñîñòàâèì ïåðâîå óðàâíåíèå Ýðíôåñòà:


        )
      dx     i h2 ∂    ih ∂  1     ∂  1 )
          =−        =−      =  − ih  = p.               (14.2)
      dt     h m ∂x    m ∂x m      ∂x  m
     Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé îò êîîð-
äèíàòû:




                                         43

Страницы