Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

44
xxx
vp
m
dp
m
d
dt
xd
dt
xd
==ΨΨ=ΨΨ=
∫∫
11
**
ττ
)
)
. (14.3)
Âûðàæåíèå
x
v
dt
dx
=
â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãî â
ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Â êâàíòîâîé æå ìåõàíèêå ñîîòíîøåíèå (14.3)
âûïîëíÿåòñÿ ëèøü äëÿ ñðåäíèõ âåëè÷èí. Ýòî åñòü ïðîÿâëåíèå êîðïóñêó-
ëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà, íåâîçìîæíîñòü îäíîâðåìåííî çàäàòü òî÷íîå
ïîëîæåíèå (êîîðäèíàòó õ) ÷àñòèöû è ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðîåêöèþ åå èì-
ïóëüñà, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåí-
áåðãà
=∆∆
x
px
h. Ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: êëàññè÷åñêîå óðàâ-
íåíèå
x
v
dt
dx
=
, êîòîðîå â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãî â
ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè, â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ
óñðåäíåííûõ âåëè÷èí:
.
m
p
dt
xd
x
=
(14.4)
Ïîñëåäíèé âûâîä óêàçûâàåò íà îäíó èç ôîðì ñâÿçè êëàññè÷åñêîé è
êâàíòîâîé ìåõàíèê. Ïîçæå ìû âåðíåìñÿ ê ýòîé ïðîáëåìå è ñôîðìóëèðóåì
òàê íàçûâàåìûé ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó âñÿêàÿ áîëåå
îáùàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñîäåðæèò â ñåáå ïðåäøåñòâóþùóþ òåîðèþ. Ñ
ïîëíûì ïðàâîì ìû ìîæåì ñ÷èòàòü êâàíòîâóþ ìåõàíèêó áîëåå îáùåé òåî-
ðèåé. Ïîýòîìó ñîîòíîøåíèå êëàññè÷åñêèõ è êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèõ óðàâ-
íåíèé äâèæåíèÿ-ýòî îäíî èç âûðàæåíèé ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ.
Ðàññìîòðèì âòîðîå êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ:
()
.
22
22
+∆−
∂
∂
−−
∂
∂
−
+∆−=
=−=
U
mx
i
x
iU
m
i
HppH
i
dt
pd
xx
x
h
hh
h
h
)
))
)
h
)
Âñå ñëàãàåìûå â îïåðàòîðå Ëàïëàñà êîììóòèðóþò ñ îïåðàòîðîì
x∂
∂
,
ïîýòîìó, ïîñëå ñîêðàùåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä:
                   )
        dx        dx          1 )       1
           = ∫ Ψ * Ψdτ = ∫ Ψ * p x Ψdτ = p x = v x . (14.3)
        dt        dt          m         m

                 dx
     Âûðàæåíèå       = v x â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãî â
                  dt
ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Â êâàíòîâîé æå ìåõàíèêå ñîîòíîøåíèå (14.3)
âûïîëíÿåòñÿ ëèøü äëÿ ñðåäíèõ âåëè÷èí. Ýòî åñòü ïðîÿâëåíèå êîðïóñêó-
ëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà, íåâîçìîæíîñòü îäíîâðåìåííî çàäàòü òî÷íîå
ïîëîæåíèå (êîîðäèíàòó õ) ÷àñòèöû è ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðîåêöèþ åå èì-
ïóëüñà, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåí-
áåðãà ∆x∆p x = h. Ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: êëàññè÷åñêîå óðàâ-
      dx
íåíèå    = v x , êîòîðîå â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãî â
      dt
ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè, â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ
óñðåäíåííûõ âåëè÷èí:
                            dx p x
                                =    .                        (14.4)
                            dt m
      Ïîñëåäíèé âûâîä óêàçûâàåò íà îäíó èç ôîðì ñâÿçè êëàññè÷åñêîé è
êâàíòîâîé ìåõàíèê. Ïîçæå ìû âåðíåìñÿ ê ýòîé ïðîáëåìå è ñôîðìóëèðóåì
òàê íàçûâàåìûé ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó âñÿêàÿ áîëåå
îáùàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñîäåðæèò â ñåáå ïðåäøåñòâóþùóþ òåîðèþ. Ñ
ïîëíûì ïðàâîì ìû ìîæåì ñ÷èòàòü êâàíòîâóþ ìåõàíèêó áîëåå îáùåé òåî-
ðèåé. Ïîýòîìó ñîîòíîøåíèå êëàññè÷åñêèõ è êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèõ óðàâ-
íåíèé äâèæåíèÿ-ýòî îäíî èç âûðàæåíèé ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ.
     Ðàññìîòðèì âòîðîå êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ:
        )
       dp x i ) )     ) )
            = (Hp x − p x H ) =
        dt   h
           
         i  h2               ∂       ∂  h 2        
       =  −   ∆ + U  − ih  −  − ih  −   ∆ + U .
         h  2m              ∂x      ∂x  2m        

                                                                   ∂
     Âñå ñëàãàåìûå â îïåðàòîðå Ëàïëàñà êîììóòèðóþò ñ îïåðàòîðîì       ,
                                                                   ∂x
ïîýòîìó, ïîñëå ñîêðàùåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä:


                                     44

Страницы