Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 45 стр.

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ПсковГУ | Псков

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45
()
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x
U
x
U
x
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i
x
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i
U
x
i
x
iU
i
dt
pd
x
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
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∂
−=
=
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∂
−−
∂
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=
hh
h
hh
h
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Èòàê,
,
x
x
F
x
U
dt
pd
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=
∂
∂
−=
(14.5)
ãäå èñïîëüçîâàíà óñòàíîâëåííàÿ â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ñâÿçü ìåæäó
x
U
∂
∂
è F
õ
, à çàòåì ïðèìåíåíî ïðàâèëî ñîïîñòàâëåíèÿ êëàññè÷åñêîé
ôóíêöèè ýðìèòîâîãî îïåðàòîðà.
Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêîé
âåëè÷èíû, â êà÷åñòâå êîòîðîé âîçüìåì
dt
pd
x
:
∫∫
=ΨΨ=ΨΨ=
.
**
xx
xx
FdFd
dt
pd
dt
pd
ττ
)
)
èëè
.
x
x
F
dt
pd
=
(14.6)
Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå (14.6), êîòîðîå â êâàíòîâîé ìåõàíèêå íà-
çûâàþò 2-ì óðàâíåíèåì Ýðíôåñòà.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ýòî óðàâíå-
íèå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì è âûðàæàåò 2-îé çàêîí Íüþòîíà â èìïóëüñíîé ôîðìå.
 êâàíòîâîé æå ìåõàíèêå ýòî óðàâíåíèå ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ óñðåä-
íåííûõ âåëè÷èí. È âñå, ÷òî ñêàçàíî ïðè àíàëèçå 1-ãî óðàâíåíèÿ Ýðíôåñòà
î ñâÿçè ñ ïðèíöèïîì ñîîòâåòñòâèÿ, îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è â îòíîøåíèè
óðàâíåíèÿ (14.6).
15. Ñâÿçü çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñ ñèììåòðèåé ïðîñòðàíñòâà
è âðåìåíè
1. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè
Îïûòíûì ïóòåì óñòàíîâëåíî, ÷òî âðåìÿ òå÷åò ðàâíîìåðíî â îòñóò-
ñòâèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè
               )
              dp x i   ∂         ∂    
                  = U  ih  − − ih (U )  =
               dt  h   ∂x        ∂x   
                      i      ∂        ∂U    ∂     ∂U
                  =    − ihU    + i h    + U  = −    .
                      h      ∂x       ∂x    ∂x    ∂x
      Èòàê,
                    )
                   dp x    ∂U )
                        =−    = Fx ,                         (14.5)
                    dt     ∂x

ãäå èñïîëüçîâàíà óñòàíîâëåííàÿ â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ñâÿçü ìåæäó
∂U
     è Fõ , à çàòåì ïðèìåíåíî ïðàâèëî ñîïîñòàâëåíèÿ êëàññè÷åñêîé
 ∂x
ôóíêöèè ýðìèòîâîãî îïåðàòîðà.
    Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêîé
                                             dp x
âåëè÷èíû, â êà÷åñòâå êîòîðîé âîçüìåì              :
                                              dt
                              )             )
                 dp x        dp
                      = ∫ Ψ * x Ψdτ = ∫ Ψ * Fx Ψdτ = Fx .
                  dt          dt
èëè
                          dp x
                               = Fx .                        (14.6)
                           dt
       Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå (14.6), êîòîðîå â êâàíòîâîé ìåõàíèêå íà-
çûâàþò 2-ì óðàâíåíèåì Ýðíôåñòà.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ýòî óðàâíå-
íèå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì è âûðàæàåò 2-îé çàêîí Íüþòîíà â èìïóëüñíîé ôîðìå.
 êâàíòîâîé æå ìåõàíèêå ýòî óðàâíåíèå ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ óñðåä-
íåííûõ âåëè÷èí. È âñå, ÷òî ñêàçàíî ïðè àíàëèçå 1-ãî óðàâíåíèÿ Ýðíôåñòà
î ñâÿçè ñ ïðèíöèïîì ñîîòâåòñòâèÿ, îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è â îòíîøåíèè
óðàâíåíèÿ (14.6).

  15. Ñâÿçü çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñ ñèììåòðèåé ïðîñòðàíñòâà
                         è âðåìåíè

     1. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè
     Îïûòíûì ïóòåì óñòàíîâëåíî, ÷òî âðåìÿ òå÷åò ðàâíîìåðíî â îòñóò-
ñòâèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè

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