Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 47 стр.

ñðàâíåíèþ ñ r , ïðîèçâåäåì ðàçëîæåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà,
ó÷òåì ëèøü ïåðâûå äâà ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ:

                                                 ∂Ψ (r )
                     Ψ (r + δr ) = Ψ (r ) + δr           +
                                                  ∂r
      Ïðîäîëæèì ïðåîáðàçîâàíèå è âûíåñåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ              Ψ âïðà-
âî:
                                           ∂
                       Ψ (r + δr ) = 1 + δr  Ψ (r ). .
                                           ∂r

    Ðàññìàòðèâàÿ ýòî ðàâåíñòâî êàê îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå, ìîæíî
âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ñêîáêàõ, ñ÷èòàòü îïåðàòîðîì, êîòîðûé, äåéñòâóÿ
íà ôóíêöèþ Ψ (r ) ïðåîáðàçóåò åå â ôóíêöèþ Ψ (r + δr ) .
                                ∂
      Íàçîâåì îïåðàòîð 1 + δr       îïåðàòîðîì ïåðåíîñà èëè òðàíñëÿöèè
                                ∂r 
è îáîçíà÷èì åãî ñèìâîëîì

                        )         ∂
                       T =  1 + δr  .                 (15.1)
                                  ∂r
     Ñîñòàâèì êîììóòàòîð äâóõ îïåðàòîðîâ, îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà è
îïåðàòîðà òðàíñëÿöèè:
         ))    )) ))
         [ ]
        HT = HT − T H =
                   h2              ∂         ∂  h 2        
               =  −  ∆ + U 1 + δr  − 1 + δr  −   ∆ + U .
                   2m              ∂r        ∂r  2m        
     Óïðîñòèì çàäà÷ó. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âíåøíåå ïîëå îòñóòñòâóåò, ò.å.
U = 0. À òîãäà â êîììóòàòîðå îñòàþòñÿ ëèøü äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðà-
òîðû, êîòîðûå ïåðåñòàâèìû è êîììóòàòîð îêàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííî ðàâ-
                                           )      )
íûì íóëþ. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîðû H è T êîììóòèðóþò. ×òî-
áû âûÿñíèòü ñìûñë ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà, ïðåîáðàçóåì îïåðàòîð òðàíñ-
        )                                        )             )
ëÿöèè T , âûðàçèâ åãî ÷åðåç îïåðàòîð èìïóëüñà p. Îïåðàòîð T ñîäåð-
æèò äâà ÷ëåíà, íî ïåðâîå-ïðîñòî ÷èñëî, ñëåäîâàòåëüíî, äåéñòâèå îïåðàòî-
                                                             ∂
ðà òðàíñëÿöèè ñâÿçàíî ñ äåéñòâèåì âòîðîãî ÷ëåíà δr              . Ìíîæèòåëü δr
                                                             ∂r

                                       47