Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 49 стр.

íûì âäîëü îñè âðàùåíèÿ è ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ðàâíûì óãëó ïîâîðî-
                                r
òà. Èçìåíåíèå ðàäèóñà – âåêòîðà r ïðè òàêîì ïîâîðîòå îïðåäåëÿåòñÿ
âûðàæåíèåì:
                                 r r       r r
                                 r → r + [δϕ ⋅ r ].
     Âû÷èñëèì ñîîòâåòñòâóþùåå èçìåíåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè, ó÷èòû-
âàÿ ëèøü ïåðâûå äâà ÷ëåíà â ðàçëîæåíèè âîëíîâîé ôóíêöèè â ðÿä Òåéëî-
ðà:
                        r     r r             rr           r
                      Ψ{r − [δϕ ⋅ r ]}= {1 − δϕ [r ⋅ ∇]}Ψ (r ),
          Êàê è â ñëó÷àå óñòàíîâëåíèÿ âèäà îïåðàòîðà òðàíñëÿöèè âèäèì, ÷òî
â êà÷åñòâå îïåðàòîðà ïîâîðîòà íà áåñêîíå÷íî ìàëûé óãîë            δϕ ìîæíî
âçÿòü îïåðàòîð
                   )          rr
                  Rδϕr = 1 − δϕ [r ⋅ ∇] .                           (15.2)
          Ñðàâíèì (15.2) ñ îïåðàòîðîì ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ:
                       )       r
                       M = −ih[r ∇].                                (15.3)
                                                                             v
     Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð áåñêîíå÷íî ìàëîãî ïîâîðîòà íà óãîë δϕ
ñâÿçàí ñ îïåðàòîðîì ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                  )        i r )
                 Rδϕr = 1 − δϕ ⋅ M .                     (15.4)
                           h       
     Èíâàðèàíòíîñòü îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíûõ
áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîâîðîòîâ îïðåäåëÿåòñÿ åãî êîììóòàöèåé ñ îïåðàòî-
      )
ðîì   Rδϕr èëè ñ ïðîåêöèåé îïåðàòîðà óãëîâîãî ìîìåíòà íà ïðîèçâîëüíîå
íàïðàâëåíèå îñè âðàùåíèÿ
                                  r ) ) )r )
                                  nMH = HnM ,
      r
ãäå n - åäèíè÷íûé âåêòîð îñè âðàùåíèÿ. Èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî
â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå, à òàê æå â ëþáîì öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîì
ïîëå èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèÿ ìîìåíòà íà ïðîèçâîëüíîå
íàïðàâëåíèå. Åñëè âíåøíåå ïîëå èìååò àêñèàëüíóþ ñèììåòðèþ, òî îïåðà-
òîð Ãàìèëüòîíà èíâàðèàíòåí ëèøü ïî îòíîøåíèþ ê âðàùåíèþ âîêðóã
àêñèàëüíîé îñè ñèììåòðèè è ñîõðàíÿåòñÿ òîëüêî ïðîåêöèÿ óãëîâîãî ìî-
ìåíòà íà ýòî íàïðàâëåíèå.
     Èç îïåðàòîðîâ áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîâîðîòîâ âîêðóã íåêîòîðîé îñè,
                                    r
îïðåäåëÿåìîé åäèíè÷íûì âåêòîðîì n , ìîæíî ñîñòàâèòü îïåðàòîð ïîâî-
ðîòà âîêðóã òîé æå îñè íà ëþáîé êîíå÷íûé óãîë.
                                         49