Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 50 стр.

      Ðàññìîòðåííûå âûøå ïðåîáðàçîâàíèÿ òðàíñëÿöèè è ïîâîðîòà îòíî-
ñÿòñÿ ê êëàññó íåïðåðûâíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Èíâàðèàíòíîñòü îïåðàòî-
ðà Ãàìèëüòîíà ïî îòíîøåíèþ ê ýòèì ïðåîáðàçîâàíèÿì ïðèâîäèò ê çàêî-
íàì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñà, êîòîðûå ñîîòâåò-
ñòâóþò çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè.
      Íàðÿäó ñ íåïðåðûâíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè óñëîâèÿ ñèììåòðèè ìî-
ãóò ïðèâîäèòü ê äèñêðåòíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì, íå ñâîäÿùèìñÿ ê áåñêîíå÷-
íî ìàëûì. Îäíàêî, â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå èíâàðèàíòíîñòü ê òàêèì ïðå-
îáðàçîâàíèÿì íå ïðèâîäèò ê çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ. Â êâàíòîâîé ìåõàíèêå
îòñóòñòâóåò ïðèíöèïèàëüíîå ðàçëè÷èå ìåæäó íåïðåðûâíûìè è äèñêðåò-
íûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè, ïîýòîìó çàêîíû ñîõðàíåíèÿ â êâàíòîâîé ìåõà-
íèêå ñëåäóþò è èç èíâàðèàíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ê äèñêðåòíûì ïðåîáðà-
çîâàíèÿì.

     4. Ïðåîáðàçîâàíèå èíâåðñèè
     Ðàññìîòðèì îäíî èç äèñêðåòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, îòíîñèòåëüíî êî-
òîðîãî îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà îñòàåòñÿ èíâàðèàíòíûì. Ýòî òàê íàçûâàå-
ìîå ïðåîáðàçîâàíèå èíâåðñèè. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ èíâåðñèÿ ñîñòîèò â îä-
íîâðåìåííîé çàìåíå çíàêà ó âñåõ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò ÷àñòèö:
                  x → ( − x);
                  y → ( − y);                                (15.5)
                  z → ( − z).
     Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè ïðàâàÿ ñèñòåìà êîîðäè-
íàò ïåðåõîäèò â ëåâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà ëþáîé
çàìêíóòîé ñèñòåìû, â êîòîðîé äåéñòâóþò ÿäåðíûå èëè ýëåêòðîìàãíèòíûå
ñèëû, èíâàðèàíòåí ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèþ èíâåðñèè. Ýòà èíâà-
ðèàíòíîñòü ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ ñèñòåì, íàõîäÿùèõñÿ â öåíòðàëüíî-ñèììåò-
ðè÷íîì âíåøíåì ïîëå ïðè óñëîâèè, ÷òî öåíòð èíâåðñèè ñîâïàäàåò ñ öåíò-
ðîì ïîëÿ.
                                      )
     Îáîçíà÷èì îïåðàòîð èíâåðñèè ÷åðåç
                                     P , òîãäà ñèììåòðèÿ ìåæäó ëåâûì
                                                           )    )
è ïðàâûì ìàòåìàòè÷åñêè âûðàæàåòñÿ êîììóòàöèåé îïåðàòîðîâ P è H :
                            )) ) )
                           HP = PH .
      Ïî îïðåäåëåíèþ îïåðàòîðà èíâåðñèè
                         ) r            r
                         PΨ (r ) = Ψ (− r ) .
      Îïðåäåëèì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà èíâåðñèè, ðåøàÿ îïå-
ðàòîðíîå óðàâíåíèå:


                                 50