Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 52 стр.

     5. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà ÷àñòèö, çàðÿäà è ìàññû â íåðåëÿòèâèñòñ-
êîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå
     Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, ïîäîáíî óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà â ýëåêò-
ðîäèíàìèêå, ïðàêòè÷åñêè ñîäåðæèò âñå îñíîâíîå ñîäåðæàíèå íåðåëÿòèâè-
ñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê. Óñòà-
íîâèì óïîìÿíóòûå â çàãîëîâêå ïàðàãðàôà çàêîíû, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå
Øðåäèíãåðà.
     Íàì ïîòðåáóåòñÿ ïîëíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà:
                      ∂Ψ )
                   ih     = HΨ .                              (15.7)
                       ∂t
     Ñîñòàâèì óðàâíåíèå, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå óðàâíåíèþ (15.7):
               ∂Ψ * ) * * ) *
               - ih = H Ψ = HΨ ,                                           (15.8)
                ∂t
ãäå ó÷òåíà âåùåñòâåííîñòü îïåðàòîðà Ãàìèëüòîíà.
     Óìíîæèì óðàâíåíèå (15.7) íà               Ψ * , à óðâíåíèå (15.8) - íà Ψ è âû÷-
òåì èç ïåðâîãî ðåçóëüòàòà âòîðîé:
         ∂Ψ         ∂Ψ *       )     )
     i hΨ *  + ihΨ       = Ψ * HΨ − ΨHΨ * .                 (15.9)
          ∂t         ∂t
     Î÷åâèäíî, ÷òî ëåâóþ ñòîðîíó óðàâíåíèÿ (15.9) ìîæíî çàïèñàòü òàê:
              ∂Ψ              ∂Ψ *      ∂            ∂
     ihΨ *
               ∂t
                      + ihΨ
                               ∂t
                                   = ih
                                        ∂t
                                           (         )
                                           Ψ * Ψ = ih Ψ .
                                                     ∂t
                                                        2



Çàïèøåì ïðàâóþ ñòîðîíó óðàâíåíèÿ (15.9) ïîäðîáíî, ïîäñòàâèâ îïåðà-
òîð Ãàìèëüòîíà â ÿâíîì âèäå:

        )     )           h2                 h2             
    Ψ * HΨ − ΨHΨ * = Ψ * −     ∆Ψ + UΨ  − Ψ −   ∆Ψ * + UΨ *  =
                          2m                 2m             
                       h
                                  [                      ]
                          2
                   =−       Ψ * ∆Ψ − Ψ∆Ψ *
                       2m
ãäå ïðîèçâåäåíî ñîêðàùåíèå ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ ñ ðàçíûìè çíàêàìè.
      Îáúåäèíèì îáå ñòîðîíû ïðåîáðàçóåìîãî ðàâåíñòâà, ðàçäåëèâ èõ
ïðåäâàðèòåëüíî íà ìíîæèòåëü           (ih ):
            ∂
            ∂t
               Ψ =
                2  ih
                   2m
                              [
                      Ψ * ∆Ψ − Ψ ∆Ψ = −
                                        ih
                                        2m
                                                 ]           [
                                           div Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ,            ]
ãäå èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà âåêòîðíîãî àíàëèçà è èçìåíåí ïîðÿäîê ñëàãàå-
                                           52