Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

40
.
*
HH
))
=
(12.4)
×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, äîñòàòî÷íî âîññòàíîâèòü âèä îïåðàòîðà
Ãàìèëüòîíà:
.
2
ˆ
2
U
m
H +∆−=
h
(12.5)
Âñå ÷ëåíû â îïåðàòîðå Ãàìèëüòîíà  âåùåñòâåííûå âåëè÷èíû.
Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè (12.3) è âûðàçèì èç íèõ íóæíûå íàì ïðî-
èçâîäíûå:
Ψ−=
∂
Ψ∂
H
i
t
)
h
è
.
*
*
Ψ=
∂
Ψ∂
H
i
t
)
h
(12.6)
Ïðîäîëæèì ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ (12.2):
()
∫
∫
Ψ
∂
∂
Ψ+ΨΨ−ΨΨ=
=
Ψ
∂
∂
Ψ+
Ψ−Ψ+ΨΨ=
τ
τ
d
t
L
HLLH
i
d
t
L
H
i
LLH
i
dt
Ld
)
))))
h
)
)
h
)))
h
***
***
Ïðåîáðàçóåì ïåðâîå ñëàãàåìîå â êðóãëûõ ñêîáêàõ:
.
*
ΨΨ
L
H
)
)
Ðàññìîòðèì âíèìàòåëüíî ýòî âûðàæåíèå. Ïî ñóòè äåëà îíî ñîñòîèò èç
äâóõ ìíîæèòåëåé, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ äâóõ îïåðà-
òîðîâ íà ôóíêöèè, êîòîðûå ñòîÿò íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå íèõ. Ýòè äâà ìíî-
æèòåëÿ íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà, ïîýòîìó èõ ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè:
.
*
ΨΨHL
))
Ñîñòàâèì èíòåãðàë ñ ýòèì ïîäûíòåãðàëüíûì âûðàæåíèåì:
∫∫
ΨΨ=ΨΨ
.
**
ττ
dLHdHL
))))
Ïðè ýòîì ìû âîñïîëüçîâàëèñü óñëîâèåì ñàìîñîïðÿæåííîñòè ýðìè-
òîâîãî îïåðàòîðà
H
)
:
∫∫
=
ττ
duHuduHu
*
122
*
1
))
, (12.7)
ïðè÷åì â êà÷åñòâå ôóíêöèè
*
1
u
âûñòóïàëà ôóíêöèÿ
*
Ψ
, à ôóíêöèè
2
u
=
Ψ
L
)
è ó÷ëè âåùåñòâåííîñòü îïåðàòîðà
.
*
H
H
)
=
                       ) )
                       H = H *.                           (12.4)
    ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, äîñòàòî÷íî âîññòàíîâèòü âèä îïåðàòîðà
Ãàìèëüòîíà:
                          h2
                   Hˆ = −    ∆ +U.                            (12.5)
                          2m
     Âñå ÷ëåíû â îïåðàòîðå Ãàìèëüòîíà – âåùåñòâåííûå âåëè÷èíû.
     Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè (12.3) è âûðàçèì èç íèõ íóæíûå íàì ïðî-
èçâîäíûå:
           ∂Ψ     i )      ∂Ψ * i ) *
               = − HΨ è         = HΨ .                                (12.6)
            ∂t    h         ∂t    h
     Ïðîäîëæèì ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ (12.2):

                                                     )
          dL      i ) )          ) i )           ∂L 
              = ∫  HΨ * LΨ + Ψ * L − HΨ  + Ψ *      Ψ d τ =
          dt      h                h             ∂t 
                                          )
              i ) *)          ))              
                (
          = ∫  HΨ LΨ − Ψ LHΨ + Ψ
                             *
                                        )
                                       * ∂L

                                         ∂t 
                                             Ψ d τ
              h
                                                              )   )
     Ïðåîáðàçóåì ïåðâîå ñëàãàåìîå â êðóãëûõ ñêîáêàõ: HΨ * LΨ.
     Ðàññìîòðèì âíèìàòåëüíî ýòî âûðàæåíèå. Ïî ñóòè äåëà îíî ñîñòîèò èç
äâóõ ìíîæèòåëåé, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ äâóõ îïåðà-
òîðîâ íà ôóíêöèè, êîòîðûå ñòîÿò íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå íèõ. Ýòè äâà ìíî-
æèòåëÿ íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà, ïîýòîìó èõ ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè:
                                ) )
                               LΨHΨ * .
      Ñîñòàâèì èíòåãðàë ñ ýòèì ïîäûíòåãðàëüíûì âûðàæåíèåì:

                           )   )                 ))
                          ∫ LΨHΨ dτ = ∫ Ψ HLΨdτ .
                                    *        *


     Ïðè ýòîì ìû âîñïîëüçîâàëèñü óñëîâèåì ñàìîñîïðÿæåííîñòè ýðìè-
                    )
òîâîãî îïåðàòîðà    H:
                          )               ) *
                    ∫u    Hu 2 dτ = ∫ u 2 Hu1 dτ ,
                      *
                     1                                                (12.7)
                                     *
ïðè÷åì â êà÷åñòâå ôóíêöèè          u1 âûñòóïàëà ôóíêöèÿ Ψ * , à ôóíêöèè
      )                                               )   )
u 2 = LΨ è ó÷ëè âåùåñòâåííîñòü îïåðàòîðà H = H * .
                                        40

Страницы