Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

36
10. Ðåøåíèå ïîëíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà
Áóäåì íàõîäèòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9.5.2), ó÷èòûâàÿ, ÷òî îáå ñòîðî-
íû åãî ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê äåéñòâèÿ ïî ðàçíûì ïåðåìåííûì. À ïîýòîìó
âîçüìåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè
),,( zyx
ϕ
è ôóíêöèè f(t), çàâèñÿùåé îò âðåìåíè:
).,,()(),,,( zyxtftzyx
ϕ
=Ψ
(10.1)
Èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ (10.1), ñîñòàâèì ïî îòäåëüíîñòè ëåâóþ è ïðà-
âóþ ñòîðîíû óðàâíåíèÿ (9.5.2):
() ()()()()
;,,,,,,, tf
t
zyxizyxtf
t
itzyx
t
i
∂
∂
=
∂
∂
=Ψ
∂
∂
ϕϕ
hhh
(10.2)
è
() ( )
[]
()()()
zyxtfzyxUzyxtf
m
,,,,,,
2
2
ϕ+ϕ∆−
h
=
()()()()()
zyxtfzyxUzyxtf
m
,,,,,,
2
2
ϕϕ
+∆−
h
(10.3).
Ïðèðàâíÿåì âûðàæåíèÿ (10.2) è (10.3), è, ðàçäåëèâ îáå ñòîðîíû óðàâ-
íåíèÿ íà
() ( )
,,, zyxtf
ϕ
=Ψ
ïîëó÷èì:
()
()
()
()
()
.,,
,,
,,
2
2
zyxU
zyx
zyx
mtf
t
tf
i
+
∆
−=
∂
∂
ϕ
ϕ
h
h
(10.4)
 ðàâåíñòâå (10.4) ëåâàÿ ñòîðîíà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè, ïðà-
âàÿ æå - ôóíêöèåé êîîðäèíàò. Ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ â ëþ-
áîé òî÷êå è â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Íî ýòî âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå,
åñëè îáå ñòîðîíû ðàâíû ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå. Îáîçíà÷èì å¸ áóêâîé Å è
âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîé âåëè÷èíû. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ìå-
òîäîì ðàçìåðíîñòåé. Îäíèì èç ïðàâèë ýòîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ óòâåðæäå-
íèå, ÷òî ñêëàäûâàòü (âû÷èòàòü) è ïðèðàâíèâàòü ìîæíî òîëüêî îäíîðîä-
íûå âåëè÷èíû. Íî ñïðàâà â ôîðìóëå (10.4) îäíî èç ñëàãàåìûõ - ýòî ïîòåí-
öèàëüíàÿ ýíåðãèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, è âñå îñòàëüíûå ÷ëåíû â ôîðìóëå (10.4)
èìåþò ñìûñë ýíåðãèè. À ïîòîìó è âåëè÷èíà Å ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèåé. È ïî-
ñêîëüêî îíà ñîñòàâëÿåòñÿ èç äâóõ ÷àñòåé, îäíà èç êîòîðûõ ñâÿçàíà ñ êèíå-
òè÷åñêîé ýíåðãèåé, à âòîðàÿ-ñ ïîòåíöèàëüíîé, òî âåëè÷èíà Å ÿâëÿåòñÿ
               10. Ðåøåíèå ïîëíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà

     Áóäåì íàõîäèòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9.5.2), ó÷èòûâàÿ, ÷òî îáå ñòîðî-
íû åãî ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê äåéñòâèÿ ïî ðàçíûì ïåðåìåííûì. À ïîýòîìó
âîçüìåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè
     ϕ ( x, y, z) è ôóíêöèè f(t), çàâèñÿùåé îò âðåìåíè:
                 Ψ ( x, y, z, t) = f (t)ϕ ( x, y, z).      (10.1)
     Èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ (10.1), ñîñòàâèì ïî îòäåëüíîñòè ëåâóþ è ïðà-
âóþ ñòîðîíû óðàâíåíèÿ (9.5.2):

     ∂                     ∂                                ∂
ih      Ψ (x, y, z, t) = ih f (t)ϕ (x, y, z) = ihϕ (x, y, z) f (t );               (10.2)
     ∂t                    ∂t                               ∂t
                   è
                      h2
                  −      ∆[ f (t )ϕ(x, y, z )]+ U (x, y, z ) f (t )ϕ(x, y, z ) =
                      2m

                h2
                  − f (t )∆ϕ (x, y, z ) + U (x, y, z) f (t)ϕ (x, y, z) (10.3).
                2m
        Ïðèðàâíÿåì âûðàæåíèÿ (10.2) è (10.3), è, ðàçäåëèâ îáå ñòîðîíû óðàâ-
íåíèÿ íà Ψ = f (t)ϕ (x, y, z), ïîëó÷èì:

                       ∂f (t )
                  ih
                         ∂t = − h ∆ϕ (x, y, z) + U (x, y, z).
                                 2
                                                                                   (10.4)
                       f (t )   2m ϕ (x, y, z)
      Â ðàâåíñòâå (10.4) ëåâàÿ ñòîðîíà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè, ïðà-
âàÿ æå - ôóíêöèåé êîîðäèíàò. Ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ â ëþ-
áîé òî÷êå è â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Íî ýòî âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå,
åñëè îáå ñòîðîíû ðàâíû ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå. Îáîçíà÷èì å¸ áóêâîé Å è
âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîé âåëè÷èíû. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ìå-
òîäîì ðàçìåðíîñòåé. Îäíèì èç ïðàâèë ýòîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ óòâåðæäå-
íèå, ÷òî ñêëàäûâàòü (âû÷èòàòü) è ïðèðàâíèâàòü ìîæíî òîëüêî îäíîðîä-
íûå âåëè÷èíû. Íî ñïðàâà â ôîðìóëå (10.4) îäíî èç ñëàãàåìûõ - ýòî ïîòåí-
öèàëüíàÿ ýíåðãèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, è âñå îñòàëüíûå ÷ëåíû â ôîðìóëå (10.4)
èìåþò ñìûñë ýíåðãèè. À ïîòîìó è âåëè÷èíà Å ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèåé. È ïî-
ñêîëüêî îíà ñîñòàâëÿåòñÿ èç äâóõ ÷àñòåé, îäíà èç êîòîðûõ ñâÿçàíà ñ êèíå-
òè÷åñêîé ýíåðãèåé, à âòîðàÿ-ñ ïîòåíöèàëüíîé, òî âåëè÷èíà Å ÿâëÿåòñÿ

                                                  36

Страницы