Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

32
Ñëåäîâàòåëüíî, ñàì îïåðàòîð èìïóëüñà çàïèøåòñÿ òàê:
∇−=++= h
)
v
)
v
)
v
)
r
iPkPjPiP
zyx
,
ãäå ñèìâîë
−∇
åñòü âåêòîðíûé îïåðàòîð íàáëà, ïðèíÿòî íàä íèì çíàê
îïåðàòîðà íå ñòàâèòü. Î÷åâèäíî, ÷òî îïåðàòîð íàáëà èìååò ñëåäóþùåå
ïðåäñòàâëåíèå:
.
z
k
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
v
vv
3. Îïåðàòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ
Îáîáùèì îïûò ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðîâ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí: åñëè
ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ, òî, äëÿ
ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðà ýòîé âåëè÷èíû, íóæíî â ôóíêöèè ýòîé âåëè÷èíû
çàìåíèòü êîîðäèíàòû è èìïóëüñû (èëè èõ ïðîåêöèè) íà èõ êâàíòîâî-ìåõà-
íè÷åñêèå îïåðàòîðû (íà òå, ÷òî áûëè ïîñòðîåíû âûøå).  âèäå ïðèìåðà
ïîñòðîåíèÿ òàêîãî ñëîæíîãî îïåðàòîðà ðàññìîòðèì îïåðàòîð ìîìåíòà
êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.
 êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå äëÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ââî-
äèòñÿ ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
[]
.
zyx
PPP
zyx
kji
PrL
v
vv
v
v
v
==
Ñëåäóÿ ñôîðìóëèðîâàííîìó âûøå ïðàâèëó, ïîñòðîèì îïåðàòîð
ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (îïåðàòîð èìïóëüñà):
.
z
i
y
i
x
i
zyx
kji
L
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
=
hhh
r
r
v
)
v
Cîñòàâèì êîììóòàòîð îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è ñîîòâåòñòâóþùåé
ïðîåêöèè èìïóëüñà.Ñèìâîëè÷åñêè êîìóòàòîð çàïèñûâàåòñÿ òàê:
[ ]
.
ˆ
xPPxPx
xxx
−=
))
Òàê êàê îïåðàòîð äîëæåí äåéñòâîâàòü íà íåêîòîðóþ ôóíêöèþ, òî
ïðèäàäèì ïðåäûäóùåìó ðàâåíñòâó âèä îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ, óìíî-
        Ñëåäîâàòåëüíî, ñàì îïåðàòîð èìïóëüñà çàïèøåòñÿ òàê:
                     )r v ) v ) v )
                     P = i Px + j Py + k Pz = −ih∇ ,
ãäå ñèìâîë ∇ − åñòü âåêòîðíûé îïåðàòîð íàáëà, ïðèíÿòî íàä íèì çíàê
îïåðàòîðà íå ñòàâèòü. Î÷åâèäíî, ÷òî îïåðàòîð íàáëà èìååò ñëåäóþùåå
ïðåäñòàâëåíèå:
                           v ∂ v ∂ v ∂
                        ∇=i     + j    +k .
                             ∂x     ∂y   ∂z

     3. Îïåðàòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ
     Îáîáùèì “îïûò” ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðîâ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí: åñëè
ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ, òî, äëÿ
ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðà ýòîé âåëè÷èíû, íóæíî â ôóíêöèè ýòîé âåëè÷èíû
çàìåíèòü êîîðäèíàòû è èìïóëüñû (èëè èõ ïðîåêöèè) íà èõ êâàíòîâî-ìåõà-
íè÷åñêèå îïåðàòîðû (íà òå, ÷òî áûëè “ïîñòðîåíû” âûøå).  âèäå ïðèìåðà
ïîñòðîåíèÿ òàêîãî ñëîæíîãî îïåðàòîðà ðàññìîòðèì îïåðàòîð ìîìåíòà
êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.
        êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå äëÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ââî-
äèòñÿ ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
                                     v   v  v
                                     i   j k
                         v vv
                         L = [r P] = x y z .
                                     Px Py Pz
     Ñëåäóÿ ñôîðìóëèðîâàííîìó âûøå ïðàâèëó, ”ïîñòðîèì” îïåðàòîð
ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (îïåðàòîð èìïóëüñà):

                             v          r            r
                     )v      i          j            k
                     L=      x          y             z      .
                               ∂          ∂             ∂
                          − ih       − ih          − ih
                               ∂x         ∂y            ∂z

      Cîñòàâèì êîììóòàòîð îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è ñîîòâåòñòâóþùåé
ïðîåêöèè èìïóëüñà.Ñèìâîëè÷åñêè êîìóòàòîð çàïèñûâàåòñÿ òàê:
                           )
                            [ ] )
                         xP = xP − Pˆ x.
                                 x     x       x
    Òàê êàê îïåðàòîð äîëæåí äåéñòâîâàòü íà íåêîòîðóþ ôóíêöèþ, òî
ïðèäàäèì ïðåäûäóùåìó ðàâåíñòâó âèä îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ, óìíî-

                                     32

Страницы