Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 75 стр.

                                         Ãëàâà 4
      19. Äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè

     Ïîëå íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íûì, åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â ýòîì ïîëå U ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî ðàññòîÿíèÿ r
÷àñòèöû îò íåêîòîðîé òî÷êè ïîëÿ, íàçûâàåìîé öåíòðîì ïîëÿ, ò.å. U (r ) è íå
çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ óäàëåíèÿ îò öåíòðà ïîëÿ. Êîîðäèíàòíîå óðàâíå-
íèå     Øðåäèíãåðà       â     äàííîé      çàäà÷å     èìååò          âèä:
                               2m
                                  (E − U )Ψ = o.
                                ∆Ψ +                          (19.1)
                               h2
     Äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè åñ-
òåñòâåííî ââåñòè ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â öåíòðå ïîëÿ.
Çàïèøåì îïåðàòîð Ëàïëàñà â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ:


                               1 ∂  2 ∂  ∆θ ,ϕ
                          ∆=          r   +    ,               (19.2)
                               r 2 ∂r  ∂r  r 2
ãäå
                            1 ∂            ∂     1   ∂2
               ∆ θ ,ϕ =             sin θ    +           .     (19.3)
                          sin θ ∂θ        ∂θ  sin θ ∂ϕ 2
                                                    2




 Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (19.1), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (19.2) è (19.3) è îäíî-
âðåìåííî ñäåëàåì ïåðåñòàíîâêó ñëàãàåìûõ, à òàêæå óìíîæèì âñå ÷ëåíû
íà    r2 :
               ∂ 2 ∂Ψ 2mr 2
                  r    + 2 ( E − U ) Ψ = − ∆θ ,ϕ Ψ.              (19.4)
               ∂r   ∂r   h
        Â ëåâîé ñòîðîíå óðàâíåíèÿ (19.4) ïðîèçâîäÿòñÿ äåéñòâèÿ ïî ïåðåìåí-
íîé r , à â ïðàâîé- òîëüêî ïî óãëîâûì ïåðåìåííûì θ èϕ . Ýòî ïîçâîëÿåò
íàì ïðåäñòàâèòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ Ψ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíê-
öèé:

                                           75