Лекции по квантовой механике. Розман Г.А. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

76
()()()
.,,,
ϕθϕθ
YrRr
=Ψ
(19.5)
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (19.5) â óðàâíåíèå (19.4) è ñîâåðøåíèÿ ýëåìåí-
òàðíûõ äåéñòâèé, ïîëó÷àåì :
()
.
121
,
2
2
2
Y
Y
UEr
m
r
R
r
rR
ϕθ
∆−=−+
∂
∂
∂
∂
h
(19.6)
Òàê êàê ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè ðàâåíñòâà (19.6) çàâèñÿò îò ðàçíûõ
ïåðåìåííûõ, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýòè ÷àñòè ïî îòäåëüíîñòè äîëæíû ðàâ-
íÿòüñÿ îäíîé è òîé æå ïîñòîÿííîé, êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç
λ
. Òàêèì
îáðàçîì, âìåñòî îäíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (19.1) ìû ïîëó÷èëè äâà
óðàâíåíèÿ .Ëåâàÿ ñòîðîíà ðàâåíñòâà (19.6) äàñò íàì òàê íàçûâàåìîå ðà-
äèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ðàäèàëüíîé ôóíêöèè
()
rR
:
()
0
21
2
2
2
=
−−+
R
r
UE
m
dr
dR
r
dr
d
r
λ
h
(19.7)
Ôóíêöèÿ
()
ϕθ
,Y
íàçûâàåòñÿ ñôåðè÷åñêîé è äëÿ íåå ïîëó÷àåòñÿ óðàâ-
íåíèå èç ïðàâîé ÷àñòè (19.6), êîòîðîå ìû òàêæå ïðèðàâíÿåì ê êîíñòàíòå
λ
,
è ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
θθ
∂
∂
sin
1
0
sin
1
sin
2
2
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
Y
YY
λ
ϕθθ
θ
. (19.8)
Óðàâíåíèå (19.7) çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè
( )
rU
, ïî-
ýòîìó ýòî óðàâíåíèå íåîáõîäèìî ðåøàòü êàæäûé ðàç çàíîâî, åñëè èçìåíÿ-
åòñÿ âèä ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè. Èíà÷å îáñòîèò äåëî ñ óðàâíåíèåì (19.8).
Åãî ðåøåíèå íå çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè
()
rU
, ïîýòîìó
åãî ðåøåíèå áóäåò ñïðàâåäëèâûì äëÿ âñåõ çàäà÷ ñ ïîëåì öåíòðàëüíîé ñèì-
ìåòðèè. Âìåñòå ñ òåì, óðàâíåíèå (19.8) ïîçâîëÿåò ïðîèçâåñòè äàëüíåéøåå
ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ.
Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäñòàâèì ñôåðè÷åñêóþ ôóíêöèþ
),(
ϕθ
Y
â ñëåäó-
þùåì âèäå:
()
.)(),(
ϕθϕθ
Φ⋅=
PY
(19.9)
Îáîçíà÷àÿ ïîñòîÿííóþ ðàçäåëåíèÿ ÷åðåç
2
m
, äëÿ ôóíêöèé
() ()
ϕθ
Φ
èP
ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå äâà óðàâíåíèÿ :
            Ψ (r , θ , ϕ ) = R (r )Y (θ , ϕ ).              (19.5)
    Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (19.5) â óðàâíåíèå (19.4) è ñîâåðøåíèÿ ýëåìåí-
òàðíûõ äåéñòâèé, ïîëó÷àåì :
             1 ∂  2 ∂R  2 m 2
                         + 2 r (E − U ) = − ∆θ ,ϕ Y .
                                            1
                  r                                              (19.6)
             R ∂r  ∂r  h                  Y
     Òàê êàê ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè ðàâåíñòâà (19.6) çàâèñÿò îò ðàçíûõ
ïåðåìåííûõ, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýòè ÷àñòè ïî îòäåëüíîñòè äîëæíû ðàâ-
íÿòüñÿ îäíîé è òîé æå ïîñòîÿííîé, êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç λ . Òàêèì
îáðàçîì, âìåñòî îäíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (19.1) ìû ïîëó÷èëè äâà
óðàâíåíèÿ .Ëåâàÿ ñòîðîíà ðàâåíñòâà (19.6) äàñò íàì òàê íàçûâàåìîå ðà-
äèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ðàäèàëüíîé ôóíêöèè R (r ):
                    1 d  2 dR   2m
                           r   +     (E − U ) − λ2  R = 0     (19.7)
                    r 2 dr  dr   h            r 
     Ôóíêöèÿ Y (θ , ϕ ) íàçûâàåòñÿ ñôåðè÷åñêîé è äëÿ íåå ïîëó÷àåòñÿ óðàâ-
íåíèå èç ïðàâîé ÷àñòè (19.6), êîòîðîå ìû òàêæå ïðèðàâíÿåì ê êîíñòàíòå λ ,
è ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
               1 ∂           ∂Y     1 ∂ 2Y
                       sin θ    +             + λY = 0 .        (19.8)
             sin θ ∂θ        ∂θ  sin 2 θ ∂ϕ 2
      Óðàâíåíèå (19.7) çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè U (r ), ïî-
ýòîìó ýòî óðàâíåíèå íåîáõîäèìî ðåøàòü êàæäûé ðàç çàíîâî, åñëè èçìåíÿ-
åòñÿ âèä ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè. Èíà÷å îáñòîèò äåëî ñ óðàâíåíèåì (19.8).
Åãî ðåøåíèå íå çàâèñèò îò âèäà ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèè U (r ), ïîýòîìó
åãî ðåøåíèå áóäåò ñïðàâåäëèâûì äëÿ âñåõ çàäà÷ ñ ïîëåì öåíòðàëüíîé ñèì-
ìåòðèè. Âìåñòå ñ òåì, óðàâíåíèå (19.8) ïîçâîëÿåò ïðîèçâåñòè äàëüíåéøåå
ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ.
      Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäñòàâèì ñôåðè÷åñêóþ ôóíêöèþ Y (θ , ϕ ) â ñëåäó-
þùåì âèäå:
                   Y (θ , ϕ ) = P (θ ) ⋅ Φ (ϕ ).                  (19.9)
     Îáîçíà÷àÿ ïîñòîÿííóþ ðàçäåëåíèÿ ÷åðåç               m 2 , äëÿ ôóíêöèé
P (θ ) èΦ (ϕ ) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå äâà óðàâíåíèÿ :



                                        76

Страницы